新讲 第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分 第8题
📝 题目
例 8 求解方程
$$ y\mathrm{\;d}x + x\left( {1 + {x}^{2}{y}^{2}}\right) \mathrm{d}y = 0. $$
💡 答案解析
解 这方程可改写为
$$ \left( {y\mathrm{\;d}x + x\mathrm{\;d}y}\right) + {x}^{3}{y}^{2}\mathrm{\;d}y = 0. $$
形状如 $\varphi \left( {xy}\right)$ 的函数都是前一组的积分因子. 我们选择 $\varphi$ 以使 $\varphi \left( {xy}\right)$ 也是后一组的积分因子. 容易看出,只要取
$$ \varphi \left( u\right) = {u}^{-3} $$
就能达到目的. 以因子
$$ \mu = \varphi \left( {xy}\right) = \frac{1}{{x}^{3}{y}^{3}} $$
乘方程两边就得到
$$ \frac{y\mathrm{\;d}x + x\mathrm{\;d}y}{{x}^{3}{y}^{3}} + \frac{\mathrm{d}y}{y} = 0. $$
积分得
$$ - \frac{1}{2{x}^{2}{y}^{2}} + \ln \left| y\right| = C. $$
另外,因为我们乘了因子 $\frac{1}{{x}^{3}{y}^{3}}$ ,可能会失掉 $x = 0$ 或 $y = 0$ 这样的解. 经检验, $x = 0$ 和 $y = 0$ 都是原方程的解 ${}^{\text{ ① }}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：改写方程
将原方程 y dx + x(1 + x^2 y^2) dy = 0 改写为 (y dx + x dy) + x^3 y^2 dy = 0。
公式：y dx + x(1 + x^2 y^2) dy = 0 → (y dx + x dy) + x^3 y^2 dy = 0
提示：注意将含有 xy 的项分组，以便寻找积分因子。
步骤 2/5
目标：寻找积分因子
观察到第一组 y dx + x dy 是 xy 的全微分，其积分因子为 φ(xy) 形式的函数。选择 φ(u) = u^{-3}，使得 φ(xy) 也是第二组 x^3 y^2 dy 的积分因子。
公式：φ(u) = u^{-3}, μ = 1/(x^3 y^3)
提示：积分因子选择的关键是使方程变为恰当微分方程。
步骤 3/5
目标：乘以积分因子
以 μ = 1/(x^3 y^3) 乘方程两边，得到 (y dx + x dy)/(x^3 y^3) + dy/y = 0。
公式：μ * [ (y dx + x dy) + x^3 y^2 dy ] = 0 → (y dx + x dy)/(x^3 y^3) + dy/y = 0
提示：注意化简后第二项变为 dy/y。
步骤 4/5
目标：积分求解
对 (y dx + x dy)/(x^3 y^3) + dy/y = 0 积分。第一项可写为 d(-1/(2 x^2 y^2))，第二项积分为 ln|y|，得到 -1/(2 x^2 y^2) + ln|y| = C。
公式：∫ (y dx + x dy)/(x^3 y^3) = -1/(2 x^2 y^2), ∫ dy/y = ln|y|
提示：注意第一项是全微分形式。
步骤 5/5
目标：检查丢失解
乘以积分因子 μ = 1/(x^3 y^3) 时，可能丢失 x=0 或 y=0 的解。经检验，x=0 和 y=0 均满足原方程，故它们也是解。
提示：乘以可能为零的因子时，需检查丢失的解。
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