新讲 第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分 第9题
📝 题目
例 9 求以 ${OX}$ 轴为旋转轴的旋转面,使得这样的镜面把放在原点的光源所发出的光反射成平行于 ${OX}$ 轴的光束.
\begin{center} ![](\"/static/img/math_analysis/102.jpg\")
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图 16-21
💡 答案解析
解 参看图 16-21. 根据条件应有
$$ \alpha = \beta = \varphi . $$
于是
$$ \theta = \alpha + \varphi = {2\beta }, $$
$$ \tan \theta = \tan {2\beta } = \frac{2\tan \beta }{1 - {\tan }^{2}\beta }. $$
但
$$ \tan \theta = \frac{y}{x},\;\tan \beta = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x}. $$
所以有
$$ \frac{y}{x} = \frac{2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x}}{1 - {\left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x}\right) }^{2}}. $$
解这个关于 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x}$ 的二次方程,我们得到
$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = \frac{-x \pm \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}}{y}. $$
由此得到
$$ x\mathrm{\;d}x + y\mathrm{\;d}y = \pm \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}\mathrm{\;d}x. $$
容易看出这方程的一个积分因子
$$ \mu = \frac{1}{\pm \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}}. $$
以这因子乘之, 就得到
$$ \frac{x\mathrm{\;d}x + y\mathrm{\;d}y}{\pm \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}} = \mathrm{\;d}x. $$
积分得
$$ \pm \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}} = x + C. $$
由此得到
$$ {y}^{2} = {2Cx} + {C}^{2}, $$
即
$$ {y}^{2} = {2C}\left( {x + \frac{C}{2}}\right) . $$
这是以原点为焦点的抛物线族. 在学习一元函数微分学时, 我们已经知道抛物线具有这种光学性质. 现在, 我们又证明了逆命题: 具有这种光学性质的曲线只能是以上抛物线族中的一条抛物线.
\customfootnote{
① 对于写成
$$ M\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x + N\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y = 0 $$
形式的微分方程,我们不但寻求形状如 $y = y\left( x\right)$ 的解,而且也寻求形状如 $x = x\left( y\right)$ 的解.
}