新讲 第2章 极 限 第8题
📝 题目
例 8 考察极限 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}\frac{\sin x}{x}}$ . 我们有 $$ \left| \frac{\sin x}{x}\right| \leq \frac{1}{\left| x\right| }, \forall x \neq 0. $$ 对任何满足条件$ \displaystyle{x}_{n} \neq 0,{x}_{n} \rightarrow \infty$的序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ ,都有 $$ \lim \frac{\sin {x}_{n}}{{x}_{n}} = 0, $$ 所以 $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}\frac{\sin x}{x} = 0. $$ 利用关于序列极限已有的结果, 可以轻而易举地证明关于函数极限的一些相应的结果. 定理 1 函数极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right)$ 是唯一的.
💡 答案解析
证明 对任意取定的满足条件 ${x}_{n} \neq a,{x}_{n} \rightarrow a$ 的序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ ,相应的函数值序列 $\left\{ {f\left( {x}_{n}\right) }\right\}$ 的极限至多只能有一个. 定理 2 (夹逼定理) 设 $f\left( x\right) ,g\left( x\right)$ 和 $h\left( x\right)$ 在 $a$ 的某个去心邻域 $\check{U}\left( a\right)$ 上有定义,并且满足不等式 $$ f\left( x\right) \leq g\left( x\right) \leq h\left( x\right) ,\;\forall x \in \check{U}\left( a\right) . $$ 如果 $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}h\left( x\right) = A, $$ 那么 $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( x\right) = A\text{ . } $$ 证明 对任何满足条件 ${x}_{n} \rightarrow a$ 的序列 $\left\{ {x}_{n}\right\} \subset \check{U}\left( a\right)$ ,我们有 $$ f\left( {x}_{n}\right) \leq g\left( {x}_{n}\right) \leq h\left( {x}_{n}\right) $$ 和 $$ \lim f\left( {x}_{n}\right) = \lim h\left( {x}_{n}\right) = A, $$ 因而 $$ \lim g\left( {x}_{n}\right) = A\text{ . } $$ 定理 3 关于函数的极限, 有以下的运算法则: $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\left( {f\left( x\right) \pm g\left( x\right) }\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) \pm \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( x\right) ; $$ $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\left( {f\left( x\right) g\left( x\right) }\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) \cdot \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( x\right) ; $$ $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\frac{g\left( x\right) }{f\left( x\right) } = \frac{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( x\right) }{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) }. $$ 以上每一公式成立的条件是该式右端有意义. 证明 设函数 $f\left( x\right)$ 和 $g\left( x\right)$ 在 $a$ 点的某个去心邻域 $\check{U}\left( a\right)$ 上有定义, 并且 $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) = A,\;\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( x\right) = B. $$ 如果 $A + B$ 有意义,那么对于任何满足条件 $$ {x}_{n} \rightarrow a,\;\left\{ {x}_{n}\right\} \subset \check{U}\left( a\right) $$ 的序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 都有 $$ \lim \left( {f\left( {x}_{n}\right) + g\left( {x}_{n}\right) }\right) = \lim f\left( {x}_{n}\right) + \lim g\left( {x}_{n}\right) $$ $$ = A + B\text{ . } $$ 这就证明了 $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\left( {f\left( x\right) + g\left( x\right) }\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) + \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( x\right) . $$ 其他公式可仿此证明. 以下关于复合函数求极限的定理很有用. 定理 4 设函数 $g$ 在 $b$ 点的某个去心邻域 $\check{U}\left( b\right)$ 上有定义, $\mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow b}}g\left( y\right) = c$ . 又设函数 $f$ 在 $a$ 点的某个去心邻域 $\check{U}\left( a\right)$ 上有定义, $f$ 把 $\check{U}\left( a\right)$ 中的点映到 $\check{U}\left( b\right)$ 之中 (用记号表示就是: $f\left( {\check{U}\left( a\right) }\right) \subset \check{U}\left( b\right)$ ) 并且 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) = b$ . 则有 $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( {f\left( x\right) }\right) = c. $$ 证明 对任何满足条件 ${x}_{n} \rightarrow a$ 的序列 $\left\{ {x}_{n}\right\} \subset \check{U}\left( a\right)$ ,我们有 $\left\{ {f\left( {x}_{n}\right) }\right\} \subset \check{U}\left( b\right)$ 和 $f\left( {x}_{n}\right) \rightarrow b$ ,因而 $$ \lim g\left( {f\left( {x}_{n}\right) }\right) = c. $$ 这就证明了 $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( {f\left( x\right) }\right) = c. $$ 注记 通常把定理 4 的结论形式地写成 $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( {f\left( x\right) }\right) = \mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow b}}g\left( y\right) , $$ 并把这个式子说成是: 在极限式 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( {f\left( x\right) }\right)$ 中做变元替换 $y =$ $f\left( x\right)$ . 这样的写法和说法用起来很方便,但应检查所要求的条件是否得到满足 (按定理 4 检查).