新讲 第2章 极 限 第10题
📝 题目
例 10 求 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}}$ .
💡 答案解析
解 令 $y = \sqrt{1 + x}$ ,则 $x = {y}^{2} - 1$ ,我们有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} = \mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow 1}}\frac{y - 1}{{y}^{2} - 1} = \mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow 1}}\frac{1}{y + 1} = \frac{1}{2}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：变量代换，简化表达式
令 y = √(1+x)，则 x = y^2 - 1。当 x→0 时，y→1。
公式：y = √(1+x), x = y^2 - 1
提示：选择代换使得根号消失，注意变量范围的变化。
步骤 2/4
目标：代入并化简极限表达式
将原极限中的 x 和 √(1+x) 用 y 表示，得到 lim_{y→1} (y-1)/(y^2-1)。
公式：lim_{x→0} (√(1+x)-1)/x = lim_{y→1} (y-1)/(y^2-1)
提示：注意分母是 y^2-1，可以因式分解。
步骤 3/4
目标：因式分解并约去公因子
分母 y^2-1 = (y-1)(y+1)，分子 y-1，约去 (y-1) 后得到 1/(y+1)。
公式：(y-1)/(y^2-1) = (y-1)/[(y-1)(y+1)] = 1/(y+1)
提示：约分前确保 y≠1，但极限中 y→1 不影响。
步骤 4/4
目标：计算极限值
lim_{y→1} 1/(y+1) = 1/(1+1) = 1/2。
公式：lim_{y→1} 1/(y+1) = 1/2
提示：直接代入 y=1 即可。
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