新讲 第18章 数项级数 第2题
📝 题目
例 2 考察级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{\sqrt{n}}}$ 是否收敛.
💡 答案解析
解 因为
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}\frac{1}{\sqrt{n}} \geq N\frac{1}{\sqrt{N}} = \sqrt{N},\;\forall N \in \mathbb{N}, $$
所以级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{\sqrt{n}}}$ 发散.
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明级数发散
考虑部分和的下界：对于任意正整数N，部分和S_N = ∑_{n=1}^N 1/√n ≥ N * (1/√N) = √N。
公式：S_N ≥ √N
提示：利用每一项都大于等于最后一项1/√N，得到下界。
步骤 2/2
目标：由下界趋于无穷推出发散
由于√N → +∞ (当N→∞)，部分和S_N无界，因此级数发散。
公式：lim_{N→∞} √N = +∞
提示：部分和无界是级数发散的充要条件。
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