新讲 第18章 数项级数 第1题
📝 题目
例 1 考察级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{n}^{2}} $$
的敛散性.
💡 答案解析
解 因为
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}\frac{1}{{n}^{2}} \leq 1 + \mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{N}\frac{1}{n\left( {n - 1}\right) } = 1 + \mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{N}\left( {\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}}\right) $$
$$ = 2 - \frac{1}{N} \leq 2,\;\forall N \in \mathbb{N}, $$
所以级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{n}^{2}}}$ 收敛.
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明部分和数列有上界
考虑部分和 S_N = ∑_{n=1}^N 1/n^2，将其放大为 1 + ∑_{n=2}^N 1/(n(n-1))，因为 1/n^2 ≤ 1/(n(n-1)) 对 n≥2 成立。
公式：1/n^2 ≤ 1/(n(n-1)) = 1/(n-1) - 1/n
提示：利用裂项相消法将通项放大为可求和的项
步骤 2/3
目标：计算放大后的和
计算 ∑_{n=2}^N (1/(n-1) - 1/n) = 1 - 1/N，因此 S_N ≤ 1 + (1 - 1/N) = 2 - 1/N ≤ 2。
公式：∑_{n=2}^N (1/(n-1) - 1/n) = 1 - 1/N
提示：注意裂项后中间项抵消，只剩首尾项
步骤 3/3
目标：由单调有界定理得出收敛
部分和数列 {S_N} 单调递增且有上界 2，因此收敛，即原级数收敛。
提示：正项级数部分和单调递增，有上界即收敛
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