新讲 第18章 数项级数 第2题
📝 题目
例 2 试考察级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{n\left( {n + 1}\right) } $$
💡 答案解析
解 计算这级数的第 $N$ 个部分和 ${S}_{N}$ 可得
$$ {S}_{N} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}\frac{1}{n\left( {n + 1}\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}\left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}}\right) $$
$$ = 1 - \frac{1}{N + 1}\text{ . } $$
由此看出级数是收敛的, 并得到
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{n\left( {n + 1}\right) } = 1. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出第N个部分和S_N的表达式
计算级数的第N个部分和S_N = ∑_{n=1}^N 1/(n(n+1))
公式：S_N = ∑_{n=1}^N 1/(n(n+1))
提示：部分和是前N项的和，是判断级数收敛性的关键。
步骤 2/4
目标：将通项裂项为差的形式
利用裂项相消法，将1/(n(n+1))分解为1/n - 1/(n+1)
公式：1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)
提示：裂项相消是处理有理分式求和的常用技巧。
步骤 3/4
目标：计算部分和S_N
将裂项后的表达式代入部分和，并逐项相消，得到S_N = 1 - 1/(N+1)
公式：S_N = ∑_{n=1}^N (1/n - 1/(n+1)) = 1 - 1/(N+1)
提示：注意中间项全部抵消，只剩下首项和末项。
步骤 4/4
目标：取极限得到级数和
当N→∞时，1/(N+1)→0，所以S_N→1，因此级数收敛且和为1
公式：∑_{n=1}^∞ 1/(n(n+1)) = lim_{N→∞} S_N = 1
提示：部分和极限存在则级数收敛，极限值即为级数和。
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