新讲 第18章 数项级数 第1题
📝 题目
例 1 设 $r > 0$ . 试考察等比级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{r}^{n - 1} $$
的敛散性.
💡 答案解析
解 如果 $r < 1$ ,那么这级数收敛:
$$ \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}{r}^{n - 1} = \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\frac{1 - {r}^{N}}{1 - r} = \frac{1}{1 - r}. $$
如果 $r \geq 1$ ,那么
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}{r}^{n - 1} \geq N $$
因而等比级数发散,其和为 $\displaystyle{+ \infty}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出等比级数的前N项和公式
等比级数 ∑_{n=1}^{N} r^{n-1} 的前N项和为 S_N = (1 - r^N)/(1 - r)，当 r ≠ 1 时。
公式：S_N = \frac{1 - r^N}{1 - r}
提示：注意 r=1 时公式不适用，需单独讨论。
步骤 2/3
目标：讨论 r < 1 时的敛散性
当 r < 1 时，r^N → 0 (N→∞)，因此 S_N → 1/(1-r)，级数收敛。
公式：\lim_{N\to\infty} S_N = \frac{1}{1-r}
提示：此时级数收敛，和为 1/(1-r)。
步骤 3/3
目标：讨论 r ≥ 1 时的敛散性
当 r ≥ 1 时，r^{n-1} ≥ 1，因此 S_N ≥ N，当 N→∞ 时 S_N → +∞，级数发散。
公式：S_N \geq N
提示：r=1 时级数为 1+1+...，显然发散；r>1 时通项趋于无穷，发散更快。
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