新讲 第18章 数项级数 第3题
📝 题目
例 3 设 $x \in \left( {0,\pi }\right)$ ,试考察级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\sin \frac{x}{{n}^{2}} $$
是否收敛.
💡 答案解析
解 我们有
$$ 0 \leq \sin \frac{x}{{n}^{2}} \leq \frac{x}{{n}^{2}},\;\forall n \geq 2. $$
因为级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{n}^{2}}}$ 收敛,所以级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\sin \frac{x}{{n}^{2}} $$
也收敛.
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：建立不等式估计
对于任意正整数 n ≥ 2 和 x ∈ (0, π)，利用不等式 sin t ≤ t (t ≥ 0)，有 0 ≤ sin(x/n²) ≤ x/n²。
公式：0 ≤ sin(x/n²) ≤ x/n², ∀n ≥ 2
提示：注意 x 为正，所以 sin(x/n²) 非负，可直接使用 sin t ≤ t。
步骤 2/2
目标：比较判别法
由于级数 ∑_{n=1}^{∞} 1/n² 收敛（p-级数，p=2>1），且 x 为常数，故 ∑_{n=1}^{∞} x/n² 也收敛。由比较判别法，正项级数 ∑ sin(x/n²) 收敛。
公式：∑_{n=1}^{∞} 1/n² 收敛 ⇒ ∑_{n=1}^{∞} x/n² 收敛
提示：比较判别法要求被比较的级数收敛且不等式方向一致。
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