新讲 第18章 数项级数 第1题
📝 题目
例 1 考察这样一个级数:
$$ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{k - 1}\frac{1}{k} \tag{4.1} $$
试说明
(1)由级数 (4.1) 各项的绝对值做成的级数是发散级数；
(2)级数 (4.1) 是收敛的
💡 答案解析
解 由级数 (4.1) 各项的绝对值做成的级数是调和级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{k} $$
我们知道这级数是发散的.
为了说明级数 (4.1) 的收敛性, 我们需要用到以下的不等式
$$ 0 < \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} + \cdots + {\left( -1\right) }^{p - 1}\frac{1}{n + p} $$
$$ \leq \frac{1}{n + 1},\;\forall n,p \in \mathbb{N}. \tag{4.2} $$
事实上,如果 $p$ 是偶数,那么
$$ \left( {\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}}\right) + \cdots + \left( {\frac{1}{n + p - 1} - \frac{1}{n + p}}\right) > 0; $$
如果 $p$ 是奇数,那么
$$ \left( {\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}}\right) + \cdots + \left( {\frac{1}{n + p - 2} - \frac{1}{n + p - 1}}\right) + \frac{1}{n + p} > 0. $$
我们已经证明了 (4.2) 中的第一个不等式. 对于 $p = 1$ 的情形,(4.2) 中的第二个不等式显然成立. 下面考察 $p \geq 2$ 的情形. 对这情形,当然也有
$$ \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3} + \cdots + {\left( -1\right) }^{p - 2}\frac{1}{n + p} > 0. $$
由此得到
$$ \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} + \cdots + {\left( -1\right) }^{p - 1}\frac{1}{n + p} $$
$$ = \frac{1}{n + 1} - \left\lbrack {\frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3} + \cdots + {\left( -1\right) }^{p - 2}\frac{1}{n + p}}\right\rbrack $$
$$ < \frac{1}{n + 1} $$
至此, 我们完成了不等式 (4.2) 的证明.
利用不等式 (4.2), 我们得到
$$ \left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = n + 1}}^{{n + p}}{\left( -1\right) }^{k - 1}\frac{1}{k}}\right| $$
$$ = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} + \cdots + {\left( -1\right) }^{p - 1}\frac{1}{n + p} $$
$$ \leq \frac{1}{n + 1}\text{ . } $$
根据柯西收敛原理就可断定
$$ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{k - 1}\frac{1}{k} $$
是收敛级数.
定义 设 $\displaystyle{\sum {a}_{n}}$ 是任意项级数.
(1)如果 $\displaystyle{\sum \left| {a}_{n}\right|}$ 收敛,那么 $\displaystyle{\sum {a}_{n}}$ 也收敛. 对这种情形,我们说: 级数 $\displaystyle{\sum {a}_{n}}$ 绝对收敛.
(2)如果 $\displaystyle{\sum \left| {a}_{n}\right|}$ 发散,但 $\displaystyle{\sum {a}_{n}}$ 收敛,那么我们就说级数 $\displaystyle{\sum {a}_{n}}$ 条件收敛.
为了判别绝对收敛性, 可以利用正项级数收敛性的判别法, 请看下面的例子.