新讲 第18章 数项级数 第2题
📝 题目
例 2 设 $\displaystyle{\sum {a}_{n}}$ 是任意项级数,并设
$$ \overline{\lim }\sqrt[n]{\left| {a}_{n}\right| } = q, $$
则有:
(1)如果 $q < 1$ ,那么级数 $\displaystyle{\sum {a}_{n}}$ 绝对收敛；
(2)如果 $q > 1$ ,那么级数 $\displaystyle{\sum {a}_{n}}$ 发散.
💡 答案解析
证明 结论(1)是显然的. 为了证明结论(2),只需指出:在所给的条件下,序列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 不能趋于 0 .
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明当 q<1 时级数绝对收敛
由条件，存在 ε>0 使得 q+ε<1。根据上极限定义，存在 N，当 n>N 时，有 √[n]{|a_n|} ≤ q+ε，即 |a_n| ≤ (q+ε)^n。由于几何级数 ∑(q+ε)^n 收敛（公比小于1），由比较判别法知 ∑|a_n| 收敛，故原级数绝对收敛。
公式：√[n]{|a_n|} ≤ q+ε < 1 ⇒ |a_n| ≤ (q+ε)^n
提示：注意上极限的定义：存在子列趋于上极限，但这里需要的是对所有充分大的 n 有上界。
步骤 2/2
目标：证明当 q>1 时级数发散
由条件，存在 ε>0 使得 q-ε>1。根据上极限定义，存在无穷多个 n 使得 √[n]{|a_n|} ≥ q-ε，即 |a_n| ≥ (q-ε)^n。由于 q-ε>1，这些项不趋于0，因此通项 a_n 不趋于0，故级数发散。
公式：√[n]{|a_n|} ≥ q-ε > 1 ⇒ |a_n| ≥ (q-ε)^n → ∞
提示：只需说明通项不趋于0即可，无需比较判别法。
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