新讲 第18章 数项级数 第3题
📝 题目
例 3 设级数 $\displaystyle{\sum {a}_{n}}$ 的各项都不等于 0 (可以放宽到: 至多有限项为 0 ),则有:
(1)如果
$$ \overline{\lim }\left| \frac{{a}_{n + 1}}{{a}_{n}}\right| < 1, $$
那么级数 $\displaystyle{\sum {a}_{n}}$ 绝对收敛;
(2)如果
$$ \underline{\lim }\left| \frac{{a}_{n + 1}}{{a}_{n}}\right| > 1 $$
那么级数 $\displaystyle{\sum {a}_{n}}$ 发散.
💡 答案解析
证明 结论 (1) 是显然的. 对于结论 (2) 中的情形,存在 ${n}_{0} \in \mathbb{N}$ , 使得只要 $n \geq {n}_{0}$ ,就有
$$ \left| {a}_{{n}_{0}}\right| < \cdots < \left| {a}_{n}\right| < \left| {a}_{n + 1}\right| < \cdots . $$
由此得知: $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 不能趋于 0 .
为了考察条件收敛性, 我们需要另外一些判别法.
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明结论(1)：若上极限小于1，则级数绝对收敛
由条件存在q<1及N，使得当n≥N时，|a_{n+1}/a_n|≤q。于是|a_{N+k}|≤|a_N|q^k，从而∑|a_n|收敛，即原级数绝对收敛。
公式：\overline{\lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1 \Rightarrow \exists q<1, N, \forall n\geq N: \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leq q
提示：注意上极限小于1意味着从某项起比值一致小于某个小于1的常数。
步骤 2/2
目标：证明结论(2)：若下极限大于1，则级数发散
由条件存在N，使得当n≥N时，|a_{n+1}/a_n|≥1。于是|a_{N+1}|≥|a_N|，|a_{N+2}|≥|a_{N+1}|≥|a_N|，依此类推，得到|a_n|≥|a_N|>0对所有n≥N成立，因此通项不趋于0，级数发散。
公式：\underline{\lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1 \Rightarrow \exists N, \forall n\geq N: \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\geq 1
提示：下极限大于1意味着从某项起比值一致大于等于1，从而通项绝对值单调不减且不趋于0。
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