新讲 第18章 数项级数 第4题
📝 题目
例 4 (关于交错级数的莱布尼茨判别法)
设序列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 单调下降趋于 0,则以下级数收敛:
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n - 1}{a}_{n} $$
💡 答案解析
证明 我们记
$$ {b}_{k} = {\left( -1\right) }^{k - 1},\;k = 1,2,\cdots , $$
则显然有
$$ \left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{b}_{k}}\right| \leq 1,\;\forall n \in \mathbb{N}. $$
根据狄利克雷判别法就可以断定级数
$$ \sum {a}_{n}{b}_{n} = \sum {\left( -1\right) }^{n - 1}{a}_{n} $$
收敛.
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：引入符号并验证部分和的有界性
记 b_k = (-1)^{k-1}，则对于任意正整数 n，部分和 S_n = ∑_{k=1}^n b_k 的绝对值不超过 1，即 |S_n| ≤ 1。
公式：|∑_{k=1}^n (-1)^{k-1}| ≤ 1
提示：交错级数的部分和交替为 1 和 0，因此有界。
步骤 2/2
目标：应用狄利克雷判别法
由于 {a_n} 单调下降趋于 0，且部分和 ∑_{k=1}^n b_k 有界，根据狄利克雷判别法，级数 ∑ a_n b_n 收敛。
公式：∑ a_n b_n = ∑ (-1)^{n-1} a_n 收敛
提示：狄利克雷判别法要求：部分和数列有界，且 {a_n} 单调趋于 0。
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