新讲 第18章 数项级数 第6题
📝 题目
例 6 设级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{b}_{n}}$ 收敛, $\alpha \geq 0$ . 求证:
(1) 级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{{b}_{n}}{{n}^{a}}}$ 收敛;
(2) 级数 $\displaystyle{\sum \frac{{n}^{a}}{{n}^{a} + 1}{b}_{n}}$ 收敛.
💡 答案解析
证明 利用阿贝尔判别法就可证明(1). 为了证明(2), 我们指
出
$$ \frac{{n}^{a}}{{n}^{a} + 1}{b}_{n} = {b}_{n} - \frac{{b}_{n}}{{n}^{a} + 1},\;\forall n \in \mathbb{N}. $$
根据阿贝尔判别法很容易断定级数
$$ \sum \frac{{b}_{n}}{{n}^{a} + 1} $$
收敛. 因而级数
$$ \sum \frac{{n}^{\alpha }}{{n}^{\alpha } + 1}{b}_{n} $$
也收敛.
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明(1)级数 ∑ b_n / n^α 收敛
由于级数 ∑ b_n 收敛，且数列 {1/n^α} 单调有界（当 α≥0 时，1/n^α 单调递减趋于0），根据阿贝尔判别法，级数 ∑ b_n / n^α 收敛。
公式：阿贝尔判别法：若 ∑ a_n 收敛，{b_n} 单调有界，则 ∑ a_n b_n 收敛。
提示：注意 α≥0 保证 1/n^α 单调有界。
步骤 2/2
目标：证明(2)级数 ∑ (n^α/(n^α+1)) b_n 收敛
首先将通项变形：n^α/(n^α+1) b_n = b_n - b_n/(n^α+1)。由于 ∑ b_n 收敛，只需证明 ∑ b_n/(n^α+1) 收敛。注意到 {1/(n^α+1)} 单调有界（当 α≥0 时单调递减趋于0），由阿贝尔判别法，∑ b_n/(n^α+1) 收敛。因此原级数收敛。
公式：变形公式：n^α/(n^α+1) = 1 - 1/(n^α+1)
提示：利用收敛级数的线性性质，将原级数拆分为两个收敛级数的差。
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