新讲 第20章 傅里叶级数 第2题

教材习题

📝 题目

例 2 试将函数

$$ f\left( x\right) = {x}^{2},\;x \in \left\lbrack {-\pi ,\pi }\right\rbrack $$

展成傅里叶级数.

💡 答案解析

解 我们扩充这函数的定义,使它成为周期为 ${2\pi }$ 的函数. 扩充后的函数记为 $\widetilde{f}\left( x\right)$ . 因为 $\widetilde{f}\left( x\right)$ 是偶函数,所以它的傅里叶级数只含余弦部分. 计算系数得:

$$ {a}_{0} = \frac{2}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }{x}^{2}\mathrm{\;d}x = \frac{2}{3}{\pi }^{2}, $$

$$ {a}_{n} = \frac{2}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }{x}^{2}\cos {nx}\mathrm{\;d}x $$

$$ = \frac{4\cos {n\pi }}{{n}^{2}} = {\left( -1\right) }^{n}\frac{4}{{n}^{2}}, $$

$$ n = 1,2,\cdots . $$

我们得到傅里叶级数展式:

$$ \widetilde{f}\left( x\right) = \frac{{\pi }^{2}}{3} + 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{\cos {nx}}{{n}^{2}},\;\forall x \in \mathbb{R}; $$

$$ {x}^{2} = \frac{{\pi }^{2}}{3} + 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{\cos {nx}}{{n}^{2}},\;\forall x \in \left\lbrack {-\pi ,\pi }\right\rbrack . $$

特别地,在上式中分别取 $x = 0$ 和 $x = \pi$ 就得到:

$$ \frac{{\pi }^{2}}{12} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{1}{{n}^{2}} $$

和

$$ \frac{{\pi }^{2}}{6} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{n}^{2}} $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：将函数周期延拓至整个实数轴
将定义在[-π, π]上的函数f(x)=x^2延拓为周期为2π的函数，记为̃f(x)。由于原函数是偶函数，延拓后仍是偶函数，因此傅里叶级数只含余弦项。
提示：偶函数的傅里叶级数只有余弦项，奇函数只有正弦项。
步骤 2/5
目标：计算傅里叶系数a0
利用公式a0 = (2/π) ∫_0^π f(x) dx，计算a0 = (2/π) ∫_0^π x^2 dx = (2/π) * (π^3/3) = (2/3)π^2。
公式：a0 = (2/π) ∫_0^π f(x) dx
提示：注意积分区间为[0,π]因为函数是偶函数。
步骤 3/5
目标：计算傅里叶系数an
利用公式an = (2/π) ∫_0^π f(x) cos(nx) dx，计算an = (2/π) ∫_0^π x^2 cos(nx) dx。通过分部积分得到an = (4 cos(nπ))/n^2 = (-1)^n * 4/n^2。
公式：an = (2/π) ∫_0^π x^2 cos(nx) dx = 4(-1)^n / n^2
提示：分部积分时注意cos(nπ)=(-1)^n。
步骤 4/5
目标：写出傅里叶级数展开式
将a0和an代入傅里叶级数公式，得到̃f(x) = π^2/3 + 4 ∑_{n=1}^∞ (-1)^n cos(nx)/n^2，对所有x∈R成立。特别地，在[-π,π]上，f(x)=x^2等于该级数。
公式：x^2 = π^2/3 + 4 ∑_{n=1}^∞ (-1)^n cos(nx)/n^2, x∈[-π,π]
提示：注意级数在端点处收敛到函数值。
步骤 5/5
目标：代入特殊点得到常数项级数
令x=0，得0 = π^2/3 + 4 ∑ (-1)^n / n^2，整理得π^2/12 = ∑ (-1)^{n-1} / n^2。令x=π，得π^2 = π^2/3 + 4 ∑ (-1)^n cos(nπ)/n^2 = π^2/3 + 4 ∑ 1/n^2，整理得π^2/6 = ∑ 1/n^2。
公式：π^2/12 = ∑_{n=1}^∞ (-1)^{n-1}/n^2; π^2/6 = ∑_{n=1}^∞ 1/n^2
提示：注意cos(nπ)=(-1)^n，代入后化简。

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