新讲 第21章 含参变元的积分 第3题

教材习题

📝 题目

例 3 设函数 $g\left( x\right)$ 在 $\lbrack 0, + \infty )$ 连续并且广义可积,求证

$$ \mathop{\lim }\limits_{{a \rightarrow 0 + }}{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}g\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{+\infty }g\left( x\right) \mathrm{d}x $$

💡 答案解析

证明 我们看到:

(1)对于取定的 $\alpha \in \left\lbrack {0,\eta }\right\rbrack$ ,函数

$$ f\left( {\alpha ,x}\right) = {\mathrm{e}}^{-{ax}} $$

关于 $x$ 单调,并且显然有

$$ \left| {f\left( {\alpha ,x}\right) }\right| \leq 1,\;\forall \alpha \in \left\lbrack {0,\eta }\right\rbrack ,x \in \lbrack 0, + \infty ); $$

(2)积分

$$ {\int }_{0}^{+\infty }g\left( x\right) \mathrm{d}x $$

收敛.

根据阿贝尔判别法, 我们断定积分

$$ {\int }_{0}^{+\infty }f\left( {\alpha ,x}\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{\alpha x}}g\left( x\right) \mathrm{d}x $$

对 $\alpha \in \left\lbrack {0,\eta }\right\rbrack$ 一致收敛,因而函数

$$ \varphi \left( \alpha \right) = {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{\alpha x}}g\left( x\right) \mathrm{d}x $$

在 $\left\lbrack {0,\eta }\right\rbrack$ 连续. 于是有

$$ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0 + }}\varphi \left( \alpha \right) = \varphi \left( 0\right) , $$

这也就是

$$ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0 + }}{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}g\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{+\infty }g\left( x\right) \mathrm{d}x. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：验证被积函数中因子 e^{-ax} 的性质
对于固定的 a ∈ [0, η]，函数 f(a, x) = e^{-ax} 关于 x 单调递减，且 |f(a, x)| ≤ 1 对所有 a ∈ [0, η] 和 x ∈ [0, +∞) 成立。
公式：|e^{-ax}| ≤ 1, ∀a ∈ [0, η], x ∈ [0, +∞)
提示：注意 a 的范围是包含 0 的闭区间，保证一致有界。
步骤 2/5
目标：指出已知条件：积分 ∫_0^∞ g(x) dx 收敛
由题目条件，g(x) 在 [0, +∞) 连续且广义可积，即 ∫_0^∞ g(x) dx 收敛。
公式：∫_0^∞ g(x) dx 收敛
提示：广义可积意味着积分收敛。
步骤 3/5
目标：应用阿贝尔判别法证明含参积分一致收敛
由于 f(a, x) 关于 x 单调且一致有界，且 ∫_0^∞ g(x) dx 收敛，根据阿贝尔判别法，积分 ∫_0^∞ e^{-ax} g(x) dx 关于 a ∈ [0, η] 一致收敛。
公式：阿贝尔判别法：若 f(x, a) 单调一致有界，∫ g(x) dx 收敛，则 ∫ f g dx 一致收敛
提示：阿贝尔判别法是判断含参积分一致收敛的常用方法。
步骤 4/5
目标：由一致收敛性得到极限函数连续
由于积分 ∫_0^∞ e^{-ax} g(x) dx 在 [0, η] 上一致收敛，且被积函数连续，则 φ(a) = ∫_0^∞ e^{-ax} g(x) dx 在 [0, η] 上连续。
公式：φ(a) 在 [0, η] 连续
提示：一致收敛的含参积分，若被积函数连续，则积分函数连续。
步骤 5/5
目标：取极限得到结论
由 φ(a) 在 a=0 处右连续，有 lim_{a→0+} φ(a) = φ(0)，即 lim_{a→0+} ∫_0^∞ e^{-ax} g(x) dx = ∫_0^∞ g(x) dx。
公式：lim_{a→0+} ∫_0^∞ e^{-ax} g(x) dx = ∫_0^∞ g(x) dx
提示：注意 a→0+ 对应右极限。

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