新讲 第21章 含参变元的积分 第2题

教材习题

📝 题目

例 2 试计算积分

$$ {\int }_{0}^{\pi /2}{\sin }^{\alpha }x \cdot {\cos }^{\beta }x\mathrm{\;d}x\;\left( {\alpha > - 1,\beta > - 1}\right) . $$

💡 答案解析

解 做变元替换 $t = {\sin }^{2}x$ 就得到

$$ {\int }_{0}^{\pi /2}{\sin }^{\alpha }x \cdot {\cos }^{\beta }x\mathrm{\;d}x = \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1}{t}^{\frac{\alpha - 1}{2}}{\left( 1 - t\right) }^{\frac{\beta - 1}{2}}\mathrm{\;d}t $$

$$ = \frac{1}{2}\mathrm{\;B}\left( {\frac{\alpha + 1}{2},\frac{\beta + 1}{2}}\right) $$

$$ = \frac{1}{2}\frac{\Gamma \left( \frac{\alpha + 1}{2}\right) \Gamma \left( \frac{\beta + 1}{2}\right) }{\Gamma \left( {\frac{\alpha + \beta }{2} + 1}\right) }. $$

对于 $\alpha = 4,\beta = 6$ 的情形,我们得到

$$ {\int }_{0}^{\pi /2}{\sin }^{4}x \cdot {\cos }^{6}x\mathrm{\;d}x = \frac{\Gamma \left( \frac{5}{2}\right) \Gamma \left( \frac{7}{2}\right) }{{2\Gamma }\left( 6\right) } = \frac{3\pi }{512}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：进行变量替换，将积分转化为Beta函数形式
令 t = sin^2 x，则 dt = 2 sin x cos x dx，且 sin x = sqrt(t)，cos x = sqrt(1-t)，x从0到π/2对应t从0到1。原积分化为 ∫_0^{π/2} sin^α x cos^β x dx = ∫_0^1 t^{α/2} (1-t)^{β/2} * (1/(2 sqrt(t(1-t)))) dt = (1/2) ∫_0^1 t^{(α-1)/2} (1-t)^{(β-1)/2} dt。
公式：t = sin^2 x, dt = 2 sin x cos x dx
提示：注意替换后微分dt的系数，以及sin和cos的幂次变化。
步骤 2/4
目标：识别Beta函数并写出表达式
由Beta函数定义 B(p,q) = ∫_0^1 t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt，对比得 p-1 = (α-1)/2，q-1 = (β-1)/2，即 p = (α+1)/2，q = (β+1)/2。因此积分 = (1/2) B((α+1)/2, (β+1)/2)。
公式：B(p,q) = ∫_0^1 t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt
提示：注意Beta函数参数与指数之间的关系。
步骤 3/4
目标：用Gamma函数表示Beta函数
利用关系 B(p,q) = Γ(p)Γ(q)/Γ(p+q)，代入 p=(α+1)/2，q=(β+1)/2，得积分 = (1/2) * Γ((α+1)/2)Γ((β+1)/2) / Γ((α+β)/2 + 1)。
公式：B(p,q) = Γ(p)Γ(q)/Γ(p+q)
提示：Gamma函数是阶乘的推广，注意参数形式。
步骤 4/4
目标：代入具体数值计算
当α=4，β=6时，积分 = (1/2) * Γ(5/2)Γ(7/2) / Γ(6)。利用 Γ(5/2)=3√π/4，Γ(7/2)=15√π/8，Γ(6)=120，得积分 = (1/2)*(3√π/4)*(15√π/8)/120 = (45π/64)/240 = 3π/512。
公式：Γ(1/2)=√π, Γ(n+1)=nΓ(n)
提示：计算Gamma函数值时，利用递推公式和特殊值。

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