新讲 第4章 导 数 第3题

教材习题

📝 题目

例 3 设 $m \in \mathbb{N}$ ,试求函数 $f\left( x\right) = {x}^{-m}\left( {x \neq 0}\right)$ 的导数.

💡 答案解析

解 我们有

$$ \frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h} = \frac{1}{h}\left\lbrack {\frac{1}{{\left( x + h\right) }^{m}} - \frac{1}{{x}^{m}}}\right\rbrack $$

$$ = \frac{1}{h}\left( {\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}\right) \left\lbrack {\frac{1}{{\left( x + h\right) }^{m - 1}} + \frac{1}{{\left( x + h\right) }^{m - 2}x} + \cdots + \frac{1}{{x}^{m - 1}}}\right\rbrack $$

$$ = - \frac{1}{\left( {x + h}\right) x}\left\lbrack {\frac{1}{{\left( x + h\right) }^{m - 1}} + \frac{1}{{\left( x + h\right) }^{m - 2}x} + \cdots + \frac{1}{{x}^{m - 1}}}\right\rbrack , $$

因而

$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h} $$

$$ = - \frac{m}{{x}^{m + 1}} = - m{x}^{-m - 1}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：写出差商表达式
根据导数定义，写出差商 f(x+h)-f(x) 除以 h，其中 f(x)=x^{-m}。
公式：\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{1}{h}\left[\frac{1}{(x+h)^m} - \frac{1}{x^m}\right]
提示：注意 x ≠ 0，且 h 足够小使得 x+h ≠ 0。
步骤 2/5
目标：利用因式分解公式化简
利用公式 a^m - b^m = (a-b)(a^{m-1} + a^{m-2}b + ... + b^{m-1})，其中 a=1/(x+h), b=1/x。将差商分解为两项乘积。
公式：\frac{1}{h}\left(\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}\right)\left[\frac{1}{(x+h)^{m-1}} + \frac{1}{(x+h)^{m-2}x} + \cdots + \frac{1}{x^{m-1}}\right]
提示：注意 a-b = -h/(x(x+h))，因此第一项为 -1/(x(x+h))。
步骤 3/5
目标：简化差商表达式
将第一项中的 1/h 与 (1/(x+h)-1/x) 合并，得到 -1/(x(x+h))，再乘以第二项。
公式：-\frac{1}{(x+h)x}\left[\frac{1}{(x+h)^{m-1}} + \frac{1}{(x+h)^{m-2}x} + \cdots + \frac{1}{x^{m-1}}\right]
提示：此时差商已化为不含 h 在分母的简单形式。
步骤 4/5
目标：取极限 h→0
令 h→0，则 (x+h)→x，第二项括号内共有 m 项，每项趋于 1/x^{m-1}，因此和趋于 m/x^{m-1}。第一项趋于 -1/x^2。乘积得 -m/x^{m+1}。
公式：f'(x) = \lim_{h\to 0} \left[-\frac{1}{(x+h)x}\right] \cdot \left[\frac{1}{(x+h)^{m-1}} + \cdots + \frac{1}{x^{m-1}}\right] = -\frac{1}{x^2} \cdot \frac{m}{x^{m-1}} = -\frac{m}{x^{m+1}}
提示：极限过程需保证分母不为零，x≠0。
步骤 5/5
目标：写出最终导数公式
将结果写为幂函数形式。
公式：f'(x) = -m x^{-m-1}
提示：该结果与幂函数求导公式一致。

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