新讲第4章导数第4题

教材习题

📝 题目

例 4 求幂函数 $f\left( x\right) = {x}^{\mu }\left( {x > 0}\right)$ 的导数 $(\mu \in \mathbb{Z}$ 的情形已见于例 1,2,3. 这里讨论 $\mu \in \mathbb{R}$ 的一般的情形).

解我们有

$$ \frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h} = \frac{{\left( x + h\right) }^{\mu } - {x}^{\mu }}{h} $$

$$ = {x}^{\mu }\frac{{\left( 1 + h/x\right) }^{\mu } - 1}{h} = {x}^{\mu - 1}\frac{{\left( 1 + h/x\right) }^{\mu } - 1}{h/x}, $$

因而

$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h} $$

$$ = {x}^{\mu - 1}\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{{\left( 1 + h/x\right) }^{\mu } - 1}{h/x} = \mu {x}^{\mu - 1}. $$

特别地,对于 $\mu = 1/2$ 和 $\mu = - 1/2$ ,我们有

$$ {\left( \sqrt{x}\right) }^{\prime } = {\left( {x}^{1/2}\right) }^{\prime } = \frac{1}{2}{x}^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}, $$

$$ {\left( \frac{1}{\sqrt{x}}\right) }^{\prime } = {\left( {x}^{-1/2}\right) }^{\prime } = - \frac{1}{2}{x}^{-3/2} = - \frac{1}{2\sqrt{{x}^{3}}}. $$

步骤 1/4

目标：写出差商表达式

根据导数定义，写出差商： \[\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{(x+h)^\mu - x^\mu}{h}\]

公式：\frac{(x+h)^\mu - x^\mu}{h}

提示：注意h≠0，且x>0保证表达式有意义。

步骤 2/4

目标：提取公因式并变形

提取x^μ，并令t=h/x，将差商改写为： \[= x^\mu \frac{(1+h/x)^\mu - 1}{h} = x^{\mu-1} \frac{(1+h/x)^\mu - 1}{h/x}\]

公式：x^{\mu-1} \frac{(1+h/x)^\mu - 1}{h/x}

提示：这一步的关键是提出x^μ，并利用h/x作为整体变量。

步骤 3/4

目标：取极限并利用重要极限

当h→0时，h/x→0，利用极限\[\lim_{t\to 0}\frac{(1+t)^\mu - 1}{t} = \mu\]，得到： \[f'(x) = x^{\mu-1} \cdot \mu = \mu x^{\mu-1}\]

公式：\lim_{t\to 0}\frac{(1+t)^\mu - 1}{t} = \mu

提示：该极限是幂函数导数推导的核心，需记住结论。

步骤 4/4

目标：给出特例

当μ=1/2时，$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$；当μ=-1/2时，$(\frac{1}{\sqrt{x}})' = -\frac{1}{2}x^{-3/2} = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$。

公式：(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad (\frac{1}{\sqrt{x}})' = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}}

提示：特例可帮助记忆公式，注意负指数和分数指数的处理。

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。

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