新讲 第4章 导 数 第5题
📝 题目
例 5 求函数 $f\left( x\right) = \sin x$ 的导数.
💡 答案解析
解 我们有
$$ \frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h} = \frac{\sin \left( {x + h}\right) - \sin x}{h} $$
$$ = \frac{2\cos \left( {x + \frac{h}{2}}\right) \sin \frac{h}{2}}{h} = \cos \left( {x + \frac{h}{2}}\right) \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}, $$
因而
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h} = \cos x. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出导数的定义式
根据导数的定义，函数f(x)在x处的导数为极限：f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h) - f(x)] / h。代入f(x)=sin x，得到差商表达式。
公式：f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}
提示：牢记导数定义，这是求导的基础。
步骤 2/4
目标：利用三角恒等式化简分子
使用和差化积公式：sin A - sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2)。这里A=x+h，B=x，得到分子为2 cos(x + h/2) sin(h/2)。
公式：\sin(x+h) - \sin x = 2 \cos\left(x + \frac{h}{2}\right) \sin\frac{h}{2}
提示：和差化积公式是处理正弦差的关键。
步骤 3/4
目标：将差商写成乘积形式
将化简后的分子除以h，得到差商 = [2 cos(x + h/2) sin(h/2)] / h = cos(x + h/2) * [sin(h/2) / (h/2)]。
公式：\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \cos\left(x + \frac{h}{2}\right) \cdot \frac{\sin(h/2)}{h/2}
提示：注意将h写成2*(h/2)以便利用重要极限。
步骤 4/4
目标：取极限并利用重要极限
当h→0时，h/2→0，利用重要极限lim_{t→0} sin t / t = 1，得到lim_{h→0} sin(h/2)/(h/2) = 1。同时cos(x + h/2) → cos x。因此极限为cos x。
公式：\lim_{h \to 0} \frac{\sin(h/2)}{h/2} = 1, \quad \lim_{h \to 0} \cos\left(x + \frac{h}{2}\right) = \cos x
提示：重要极限lim_{x→0} sin x / x = 1必须熟练掌握。
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