新讲 第4章 导 数 第6题
📝 题目
例 6 求函数 $f\left( x\right) = \cos x$ 的导数.
💡 答案解析
解 我们有
$$ \frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h} = \frac{\cos \left( {x + h}\right) - \cos x}{h} $$
$$ = \frac{-2\sin \left( {x + \frac{h}{2}}\right) \sin \frac{h}{2}}{h}, $$
因而
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h} = - \sin x. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出导数的定义式
根据导数的定义，函数f(x)在x处的导数为极限：f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h)-f(x)]/h。将f(x)=cos x代入，得到差商为[cos(x+h)-cos x]/h。
公式：f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h)-f(x)]/h
提示：牢记导数定义，这是求导的基础。
步骤 2/4
目标：利用三角恒等式化简分子
使用和差化积公式：cos A - cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2)。令A=x+h，B=x，则cos(x+h)-cos x = -2 sin((2x+h)/2) sin(h/2) = -2 sin(x+h/2) sin(h/2)。
公式：cos A - cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2)
提示：注意符号，cos差公式前有负号。
步骤 3/4
目标：代入化简后的分子并拆分极限
将化简结果代入差商：[-2 sin(x+h/2) sin(h/2)]/h = - sin(x+h/2) * [sin(h/2)/(h/2)]。因此，f'(x) = lim_{h→0} [- sin(x+h/2) * (sin(h/2)/(h/2))]。
公式：sin(h/2)/(h/2) → 1 当 h→0
提示：利用重要极限lim_{θ→0} sinθ/θ = 1。
步骤 4/4
目标：计算极限得到导数
当h→0时，sin(x+h/2) → sin x，而sin(h/2)/(h/2) → 1。因此，f'(x) = - sin x * 1 = - sin x。
公式：f'(x) = - sin x
提示：最终结果：cos x的导数是 - sin x。
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