新讲 第4章 导 数 第10题
📝 题目
例 10 考察函数 $f\left( x\right) = \left| x\right|$ 在 $x = 0$ 处是否可导 (见图 4-2).
💡 答案解析
解 我们看到
$$ \frac{f\left( {0 + h}\right) - f\left( 0\right) }{h} = \frac{\left| h\right| }{h} = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \text{ 如果 }h > 0, \\ - 1, & \text{ 如果 }h < 0, \end{array}\right. $$
于是
$$ {f}_{ - }^{\prime }\left( 0\right) = - 1,\;{f}_{ + }^{\prime }\left( 0\right) = + 1. $$
因而函数 $f$ 在 $x = 0$ 处的导数不存在. 容易看出,在 $x \neq 0$ 的地方,函数 $f$ 的导数总是存在的:
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \text{ 如果 }x > 0, \\ - 1, & \text{ 如果 }x < 0. \end{array}\right. $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/008.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 4-2
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算差商
计算函数在x=0处的差商：f(0+h)-f(0)除以h，其中f(x)=|x|，f(0)=0，所以差商为|h|/h。
公式：\frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \frac{|h|}{h}
提示：注意h的正负会影响|h|的符号。
步骤 2/4
目标：分析差商极限
当h>0时，|h|/h=1；当h<0时，|h|/h=-1。因此左导数为-1，右导数为1。
公式：f'_-(0) = -1, \quad f'_+(0) = 1
提示：左导数和右导数不相等，所以导数不存在。
步骤 3/4
目标：结论
由于左导数和右导数不相等，函数f(x)=|x|在x=0处不可导。
提示：可导的充要条件是左右导数存在且相等。
步骤 4/4
目标：讨论其他点
当x≠0时，f(x)=|x|可导，导数为：x>0时f'(x)=1，x<0时f'(x)=-1。
公式：f'(x) = \begin{cases} 1, & x>0 \\ -1, & x<0 \end{cases}
提示：绝对值函数在x=0处有尖点，因此不可导。
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