新讲 第4章 导 数 第2题
📝 题目
例 2 求函数 $\tan x$ 和 $\cot x$ 的导数.
💡 答案解析
解 我们有
$$ {\left( \tan x\right) }^{\prime } = {\left( \frac{\sin x}{\cos x}\right) }^{\prime } $$
$$ = \frac{{\left( \sin x\right) }^{\prime }\cos x - \sin x{\left( \cos x\right) }^{\prime }}{{\left( \cos x\right) }^{2}} $$
$$ = \frac{{\cos }^{2}x + {\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x} $$
$$ = \frac{1}{{\cos }^{2}x}\left( {x \neq {k\pi } + \frac{\pi }{2}}\right) ; $$
$$ {\left( \cot x\right) }^{\prime } = {\left( \frac{\cos x}{\sin x}\right) }^{\prime } $$
$$ = - \frac{1}{{\sin }^{2}x}\;\left( {x \neq {k\pi }}\right) . $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：将tan x表示为sin x / cos x
利用tan x = sin x / cos x，将导数转化为商的导数。
公式：tan x = sin x / cos x
提示：这是求导的基础转换，便于使用商的求导法则。
步骤 2/9
目标：应用商的求导法则
使用公式 (u/v)' = (u'v - uv')/v^2，其中 u = sin x, v = cos x。
公式：(u/v)' = (u'v - uv')/v^2
提示：注意分子是u'v - uv'，顺序不能颠倒。
步骤 3/9
目标：计算分子中的导数
sin x的导数为cos x，cos x的导数为 -sin x。代入得分子为 cos x * cos x - sin x * (-sin x) = cos^2 x + sin^2 x。
公式：(sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x
提示：牢记基本导数公式。
步骤 4/9
目标：化简分子
利用三角恒等式 sin^2 x + cos^2 x = 1，分子简化为1。
公式：sin^2 x + cos^2 x = 1
提示：这是最常用的三角恒等式。
步骤 5/9
目标：得出tan x的导数
分母为cos^2 x，因此 (tan x)' = 1/cos^2 x = sec^2 x。注意定义域 x ≠ kπ + π/2。
公式：(tan x)' = sec^2 x
提示：sec x = 1/cos x，所以1/cos^2 x = sec^2 x。
步骤 6/9
目标：将cot x表示为cos x / sin x
利用cot x = cos x / sin x，将导数转化为商的导数。
公式：cot x = cos x / sin x
提示：与tan x类似，转换为商的形式。
步骤 7/9
目标：应用商的求导法则
使用公式 (u/v)' = (u'v - uv')/v^2，其中 u = cos x, v = sin x。
公式：(u/v)' = (u'v - uv')/v^2
提示：注意分子是u'v - uv'。
步骤 8/9
目标：计算分子中的导数
cos x的导数为 -sin x，sin x的导数为 cos x。代入得分子为 (-sin x)*sin x - cos x*cos x = -sin^2 x - cos^2 x = -(sin^2 x + cos^2 x) = -1。
公式：(cos x)' = -sin x, (sin x)' = cos x
提示：注意负号的处理。
步骤 9/9
目标：得出cot x的导数
分母为sin^2 x，因此 (cot x)' = -1/sin^2 x = -csc^2 x。注意定义域 x ≠ kπ。
公式：(cot x)' = -csc^2 x
提示：csc x = 1/sin x，所以 -1/sin^2 x = -csc^2 x。
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