新讲 第4章 导 数 第21题
📝 题目
例 21 求由以下条件确定的隐函数 $y = y\left( x\right)$ 的导数:
$$ {x}^{2} + {y}^{2} = 1,\; - 1 < x < 1,y > 0. $$
💡 答案解析
解 以 $y = y\left( x\right)$ 代入方程 ${x}^{2} + {y}^{2} = 1$ 应该得到一个恒等式. 对这恒等式两边求导得
$$ {2x} + {2y}{y}^{\prime } = 0 $$
$$ {y}^{\prime } = - x/y\text{ . } $$
用显式表示来验算, 我们得到
$$ {y}^{\prime } = {\left( \sqrt{1 - {x}^{2}}\right) }^{\prime } = \frac{1}{2\sqrt{1 - {x}^{2}}}{\left( 1 - {x}^{2}\right) }^{\prime } $$
$$ = - \frac{x}{\sqrt{1 - {x}^{2}}} = - \frac{x}{y}. $$
有时候, 从函数的直接表示式求导数比较复杂, 改用 (人为的) 隐式表示来求这函数的导数也许还要简便一些. 所谓对数求导法(适用于幂-指数表示式及其他一些情形)就是一个很好的例子.
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将隐函数代入方程得到恒等式
将 y = y(x) 代入方程 x^2 + y^2 = 1，得到恒等式 x^2 + [y(x)]^2 = 1。
提示：注意 y 是 x 的函数，因此对 x 求导时 y 是中间变量。
步骤 2/4
目标：对恒等式两边关于 x 求导
对恒等式两边求导：d/dx (x^2) + d/dx (y^2) = d/dx (1)，得到 2x + 2y y' = 0。
公式：2x + 2y y' = 0
提示：对 y^2 求导时，使用链式法则：d/dx (y^2) = 2y y'。
步骤 3/4
目标：解出 y'
从 2x + 2y y' = 0 中解出 y'：2y y' = -2x，所以 y' = -x/y。
公式：y' = -x/y
提示：注意 y > 0，因此分母不为零。
步骤 4/4
目标：用显式表示验算
由 x^2 + y^2 = 1 且 y > 0，得 y = sqrt(1 - x^2)。直接求导：y' = (1/(2 sqrt(1 - x^2))) * (-2x) = -x / sqrt(1 - x^2) = -x/y。结果一致。
公式：y' = -x / sqrt(1 - x^2) = -x/y
提示：显式求导时注意复合函数求导。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。