新讲 第4章 导 数 第24题
📝 题目
例 24 设 $y = {\mathrm{e}}^{\beta x}$ ,求 ${y}^{\left( n\right) }$ .
💡 答案解析
解 ${y}^{\prime } = \beta {\mathrm{e}}^{\beta x},{y}^{\prime \prime } = {\beta }^{2}{\mathrm{e}}^{\beta x},\cdots ,{y}^{\left( n\right) } = {\beta }^{n}{\mathrm{e}}^{\beta x}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求一阶导数
对 y = e^{βx} 求导，应用链式法则，得到 y' = β e^{βx}。
公式：(e^{u})' = e^{u} u'
提示：注意指数函数的导数规则，内函数导数为β。
步骤 2/3
目标：求二阶导数
对 y' = β e^{βx} 再次求导，得到 y'' = β * β e^{βx} = β^2 e^{βx}。
公式：(β e^{βx})' = β^2 e^{βx}
提示：每次求导都会乘一个β。
步骤 3/3
目标：归纳n阶导数
观察一阶和二阶导数，可归纳出n阶导数为 y^{(n)} = β^n e^{βx}。
公式：y^{(n)} = β^n e^{βx}
提示：可用数学归纳法证明。
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