新讲 第4章 导 数 第2题

教材习题

📝 题目

例 2 设函数 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上有 $n + 1$ 阶导数. 如果

$$ {f}^{\left( n + 1\right) }\left( x\right) = 0,\;\forall x \in \mathbb{R}, $$

那么

$$ f\left( x\right) \equiv {C}_{0}{x}^{n} + {C}_{1}{x}^{n - 1} + \cdots + {C}_{n}. $$

💡 答案解析

证明 用归纳法. $n = 1$ 的情形已见于上一例子中. 假设对于 $n = k$ 的情形结论成立. 我们来考察 $n = k + 1$ 的情形. 这时 ${f}^{\prime }$ 在 $\mathbb{R}$ 上有 $k + 1$ 阶导数,并且

$$ {\left( {f}^{\prime }\right) }^{\left( k + 1\right) }\left( x\right) = {f}^{\left( k + 2\right) }\left( x\right) = 0,\;\forall x \in \mathbb{R}, $$

因而 (根据归纳的假设) 有

$$ {f}^{\prime }\left( x\right) \equiv {C}_{0}^{\prime }{x}^{k} + {C}_{1}^{\prime }{x}^{k - 1} + \cdots + {C}_{k}^{\prime }, $$

这里 ${C}_{0}^{\prime },{C}_{1}^{\prime },\cdots ,{C}_{k}^{\prime }$ 是常数. 记

$$ \varphi \left( x\right) = f\left( x\right) - \frac{{C}_{0}^{\prime }}{k + 1}{x}^{k + 1} - \frac{{C}_{1}^{\prime }}{k}{x}^{k} - \cdots - {C}_{k}^{\prime }x, $$

则有

$$ {\varphi }^{\prime }\left( x\right) = {f}^{\prime }\left( x\right) - {C}_{0}^{\prime }{x}^{k} - {C}_{1}^{\prime }{x}^{k - 1} - \cdots - {C}_{k}^{\prime } $$

$$ = 0,\;\forall x \in \mathbb{R}, $$

因而

$$ \varphi \left( x\right) \equiv {C}_{k + 1}\text{ (常数). } $$

我们证明了

$$ f\left( x\right) \equiv {C}_{0}{x}^{k + 1} + {C}_{1}{x}^{k} + \cdots + {C}_{k}x + {C}_{k + 1}, $$

这里

$$ {C}_{0} = \frac{{C}_{0}^{\prime }}{k + 1},{C}_{1} = \frac{{C}_{1}^{\prime }}{k},\cdots ,{C}_{k} = {C}_{k}^{\prime }. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：建立归纳基础
首先验证 n=1 时结论成立。由已知 f''(x)=0，则 f'(x) 为常数，积分得 f(x)=C0 x + C1，结论成立。
提示：n=1 是归纳法的起点，需确保基础情况正确。
步骤 2/5
目标：归纳假设
假设当 n=k 时结论成立，即若 f^(k+1)(x)=0，则 f(x) 是次数不超过 k 的多项式。
提示：归纳假设是证明的关键，需明确假设条件。
步骤 3/5
目标：考虑 n=k+1 的情形
设 f^(k+2)(x)=0，则 f' 满足 (f')^(k+1)(x)=f^(k+2)(x)=0。由归纳假设，f'(x) 是次数不超过 k 的多项式：f'(x)=C0' x^k + C1' x^{k-1} + ... + Ck'。
公式：f'(x) = C0' x^k + C1' x^{k-1} + ... + Ck'
提示：注意 f' 的阶数比 f 低一阶，从而可应用归纳假设。
步骤 4/5
目标：构造辅助函数
定义 φ(x)=f(x) - [C0'/(k+1)] x^{k+1} - [C1'/k] x^k - ... - Ck' x。求导得 φ'(x)=f'(x) - (C0' x^k + C1' x^{k-1} + ... + Ck') = 0，故 φ(x) 为常数，记为 C_{k+1}。
公式：φ'(x)=0 ⇒ φ(x)=C_{k+1}
提示：通过积分反推原函数，注意系数调整。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此 f(x)=[C0'/(k+1)] x^{k+1} + [C1'/k] x^k + ... + Ck' x + C_{k+1}，令 C0=C0'/(k+1), C1=C1'/k, ..., Ck=Ck', C_{k+1}=常数，则 f(x) 是次数不超过 k+1 的多项式。
公式：f(x)=C0 x^{k+1} + C1 x^k + ... + Ck x + C_{k+1}
提示：归纳完成，结论对任意 n 成立。

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