新讲 第5章 原函数与不定积分 第1题
📝 题目
例 1 求 $\displaystyle{\int {\tan }^{2}x\mathrm{\;d}x}$ .
💡 答案解析
解 我们有
$$ \int {\tan }^{2}x\mathrm{\;d}x = \int \frac{1 - {\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\mathrm{\;d}x $$
$$ = \int \frac{\mathrm{d}x}{{\cos }^{2}x} - \int 1\mathrm{\;d}x $$
$$ = \tan x - x + C\text{ . } $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：将被积函数转化为可积分的形式
利用三角恒等式 tan²x = sec²x - 1，将积分拆分为两个基本积分：∫ tan²x dx = ∫ (sec²x - 1) dx。
公式：tan²x = sec²x - 1
提示：记住常用三角恒等式，如 tan²x = sec²x - 1。
步骤 2/2
目标：分别积分
∫ sec²x dx = tan x，∫ 1 dx = x，因此原积分 = tan x - x + C。
公式：∫ sec²x dx = tan x + C
提示：注意 sec²x 的积分是 tan x，这是基本积分公式。
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