新讲 第5章 原函数与不定积分 第2题
📝 题目
例 2 求 $\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{{\sin }^{2}{2x}}}$ .
💡 答案解析
解
$$ \int \frac{\mathrm{d}x}{{\sin }^{2}{2x}} = \frac{1}{4}\int \frac{\mathrm{d}x}{{\sin }^{2}x \cdot {\cos }^{2}x} $$
$$ = \frac{1}{4}\int \frac{{\sin }^{2}x + {\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x \cdot {\cos }^{2}x}\mathrm{\;d}x $$
$$ = \frac{1}{4}\left( {\int \frac{\mathrm{d}x}{{\cos }^{2}x}+\int \frac{\mathrm{d}x}{{\sin }^{2}x}}\right) $$
$$ = \frac{1}{4}\left( {\tan x - \cot x}\right) + C. $$
上式右端可以改写为
$$ \frac{{\sin }^{2}x - {\cos }^{2}x}{4\cos x\sin x} + C = - \frac{1}{2}\cot {2x} + C. $$
在下一节中, 我们将用更简单的办法求得这一结果.
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将分母中的sin^2(2x)用倍角公式展开
利用倍角公式 sin(2x) = 2 sin x cos x，则 sin^2(2x) = 4 sin^2 x cos^2 x，因此原积分化为 ∫ dx / (4 sin^2 x cos^2 x) = (1/4) ∫ dx / (sin^2 x cos^2 x)。
公式：sin(2x) = 2 sin x cos x
提示：注意系数1/4不要遗漏。
步骤 2/4
目标：将分子1写成sin^2 x + cos^2 x
利用恒等式 sin^2 x + cos^2 x = 1，将积分拆分为两个积分之和： (1/4) ∫ (sin^2 x + cos^2 x) / (sin^2 x cos^2 x) dx = (1/4) [ ∫ dx / cos^2 x + ∫ dx / sin^2 x ]。
公式：sin^2 x + cos^2 x = 1
提示：拆分后注意每个积分的分母简化。
步骤 3/4
目标：分别积分
∫ dx / cos^2 x = tan x + C，∫ dx / sin^2 x = -cot x + C，因此原积分 = (1/4)(tan x - cot x) + C。
公式：∫ sec^2 x dx = tan x + C，∫ csc^2 x dx = -cot x + C
提示：注意第二个积分有负号。
步骤 4/4
目标：化简结果（可选）
将 tan x - cot x 通分：tan x - cot x = (sin x / cos x) - (cos x / sin x) = (sin^2 x - cos^2 x) / (sin x cos x) = -2 cos 2x / sin 2x = -2 cot 2x，因此原积分 = (1/4)(-2 cot 2x) + C = - (1/2) cot 2x + C。
公式：tan x - cot x = -2 cot 2x
提示：化简后形式更简洁。
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