新讲 第5章 原函数与不定积分 第3题
📝 题目
例 3 求 $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{\left( {x - \alpha }\right) \left( {x - \beta }\right) }$ .
💡 答案解析
解 我们有
$$ \int \frac{\mathrm{d}x}{\left( {x - \alpha }\right) \left( {x - \beta }\right) } = \frac{1}{\alpha - \beta }\left( {\int \frac{\mathrm{d}x}{x - \alpha }-\int \frac{\mathrm{d}x}{x - \beta }}\right) $$
$$ = \frac{1}{\alpha - \beta }\left( {\ln \left| {x - \alpha }\right| - \ln \left| {x - \beta }\right| }\right) + C $$
$$ = \frac{1}{\alpha - \beta }\ln \left| \frac{x - \alpha }{x - \beta }\right| + C. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将被积函数分解为部分分式
由于分母为两个一次因式的乘积，可设 \frac{1}{(x-\alpha)(x-\beta)} = \frac{A}{x-\alpha} + \frac{B}{x-\beta}，通分后比较分子得 A(x-\beta)+B(x-\alpha)=1，解得 A=\frac{1}{\alpha-\beta}, B=\frac{1}{\beta-\alpha}，因此积分化为 \frac{1}{\alpha-\beta}\left(\int \frac{dx}{x-\alpha} - \int \frac{dx}{x-\beta}\right)。
公式：\frac{1}{(x-\alpha)(x-\beta)} = \frac{1}{\alpha-\beta}\left(\frac{1}{x-\alpha} - \frac{1}{x-\beta}\right)
提示：注意分母因式分解后，部分分式分解的系数可通过待定系数法或赋值法求得。
步骤 2/3
目标：分别积分两个简单分式
利用基本积分公式 \int \frac{dx}{x-a} = \ln|x-a| + C，得到 \int \frac{dx}{x-\alpha} = \ln|x-\alpha| + C_1，\int \frac{dx}{x-\beta} = \ln|x-\beta| + C_2，代入前式得 \frac{1}{\alpha-\beta}(\ln|x-\alpha| - \ln|x-\beta|) + C。
公式：\int \frac{dx}{x-a} = \ln|x-a| + C
提示：积分常数可合并为一个。
步骤 3/3
目标：合并对数表达式
利用对数性质 \ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}，将结果写成 \frac{1}{\alpha-\beta} \ln\left|\frac{x-\alpha}{x-\beta}\right| + C。
公式：\ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}
提示：注意绝对值符号，保证对数定义域。
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