新讲 第5章 原函数与不定积分 第4题
📝 题目
例 4 求 $\displaystyle{\int \frac{{\mathrm{e}}^{x}}{1 + {\mathrm{e}}^{2x}}\mathrm{\;d}x}$ .
💡 答案解析
解 $\displaystyle \int \frac{{\mathrm{e}}^{x}}{1 + {\mathrm{e}}^{2x}}\mathrm{\;d}x = \int \frac{\mathrm{d}{\mathrm{e}}^{x}}{1 + {\left( {\mathrm{e}}^{x}\right) }^{2}} = \arctan {\mathrm{e}}^{x} + C$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将被积函数转化为关于 e^x 的形式
注意到分子 e^x dx 可以写成 d(e^x)，分母 1+e^{2x} 可以写成 1+(e^x)^2，因此原积分转化为 ∫ d(e^x) / (1+(e^x)^2)。
公式：d(e^x) = e^x dx
提示：观察分子与分母的关系，利用微分形式不变性。
步骤 2/3
目标：应用基本积分公式
令 u = e^x，则积分变为 ∫ du/(1+u^2)，这是 arctan u 的微分形式，因此结果为 arctan u + C。
公式：∫ du/(1+u^2) = arctan u + C
提示：熟记基本积分公式。
步骤 3/3
目标：回代变量
将 u = e^x 代回，得到最终结果 arctan(e^x) + C。
提示：不要忘记积分常数 C。
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