新讲 第5章 原函数与不定积分 第7题
📝 题目
例 7 求 $\displaystyle{\int {\cos }^{3}x\mathrm{\;d}x,\int {\sin }^{3}x\mathrm{\;d}x}$ .
💡 答案解析
解 $\displaystyle \int {\cos }^{3}x\mathrm{\;d}x = \int {\cos }^{2}x\mathrm{\;d}\left( {\sin x}\right)$
$$ = \int \left( {1 - {\sin }^{2}x}\right) \mathrm{d}\left( {\sin x}\right) $$
$$ = \sin x - \frac{1}{3}{\sin }^{3}x + C. $$
$$ \int {\sin }^{3}x\mathrm{\;d}x = - \int \left( {1 - {\cos }^{2}x}\right) \mathrm{d}\left( {\cos x}\right) $$
$$ = - \cos x + \frac{1}{3}{\cos }^{3}x + C. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算 ∫cos³x dx
将 cos³x 写为 cos²x·cosx，利用 d(sinx)=cosx dx，将积分转化为 ∫(1-sin²x) d(sinx)。
公式：cos²x = 1 - sin²x, d(sinx) = cosx dx
提示：注意凑微分时，cosx dx 正好是 d(sinx)。
步骤 2/4
目标：计算 ∫(1-sin²x) d(sinx)
令 u = sinx，则积分变为 ∫(1-u²) du = u - u³/3 + C，代回 u = sinx 得 sinx - (1/3)sin³x + C。
公式：∫(1-u²) du = u - u³/3 + C
提示：积分后不要忘记加常数 C。
步骤 3/4
目标：计算 ∫sin³x dx
将 sin³x 写为 sin²x·sinx，利用 d(cosx) = -sinx dx，将积分转化为 -∫(1-cos²x) d(cosx)。
公式：sin²x = 1 - cos²x, d(cosx) = -sinx dx
提示：注意负号的处理。
步骤 4/4
目标：计算 -∫(1-cos²x) d(cosx)
令 v = cosx，则积分变为 -∫(1-v²) dv = -(v - v³/3) + C = -v + v³/3 + C，代回 v = cosx 得 -cosx + (1/3)cos³x + C。
公式：∫(1-v²) dv = v - v³/3 + C
提示：注意负号分配，最终结果形式。
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