新讲 第5章 原函数与不定积分 第8题
📝 题目
例 8 求 $\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{\cos x}}$ .
💡 答案解析
解 $\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{\cos x} = \int \frac{\cos x\mathrm{\;d}x}{{\cos }^{2}x}}$
$$ = \int \frac{\mathrm{d}\left( {\sin x}\right) }{1 - {\sin }^{2}x} $$
$$ = \frac{1}{2}\ln \left| \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}\right| + C $$
$$ = \frac{1}{2}\ln {\left| \frac{1 + \sin x}{\cos x}\right| }^{2} + C $$
$$ = \ln \left| {\frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x}}\right| + C $$
$$ = \ln \left| {\sec x + \tan x}\right| + C\text{ , } $$
在计算过程中, 我们用到以下事实:
$$ \int \frac{\mathrm{d}u}{{u}^{2} - 1} = \frac{1}{2}\ln \left| \frac{u - 1}{u + 1}\right| + C. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将积分转化为关于sin x的形式
将分母cos x转化为cos^2 x，分子乘以cos x，得到∫ cos x dx / cos^2 x，然后利用d(sin x) = cos x dx，将积分化为∫ d(sin x) / (1 - sin^2 x)。
公式：∫ dx / cos x = ∫ cos x dx / cos^2 x = ∫ d(sin x) / (1 - sin^2 x)
提示：注意cos^2 x = 1 - sin^2 x。
步骤 2/3
目标：应用有理函数积分公式
令u = sin x，则积分变为∫ du / (1 - u^2)。利用公式∫ du / (u^2 - 1) = (1/2) ln |(u-1)/(u+1)| + C，注意分母是1 - u^2 = -(u^2 - 1)，所以∫ du / (1 - u^2) = -∫ du / (u^2 - 1) = (1/2) ln |(u+1)/(u-1)| + C，即(1/2) ln |(1+u)/(1-u)| + C。
公式：∫ du / (1 - u^2) = (1/2) ln |(1+u)/(1-u)| + C
提示：注意符号处理，避免出错。
步骤 3/3
目标：回代并化简结果
将u = sin x代回，得到(1/2) ln |(1+sin x)/(1-sin x)| + C。然后利用对数性质化简： (1/2) ln |(1+sin x)/(1-sin x)| = (1/2) ln |(1+sin x)^2 / (1-sin^2 x)| = (1/2) ln |(1+sin x)^2 / cos^2 x| = ln |(1+sin x)/cos x| + C = ln |sec x + tan x| + C。
公式：(1/2) ln |(1+sin x)/(1-sin x)| = ln |sec x + tan x| + C
提示：利用1 - sin^2 x = cos^2 x，以及ln的幂运算性质。
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