新讲 第5章 原函数与不定积分 第9题
📝 题目
例 9 求 $\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}}},\int \frac{\mathrm{d}x}{{a}^{2} + {x}^{2}}}$ ,这里 $a > 0$ .
💡 答案解析
解 $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}}} = \int \frac{\mathrm{d}\left( \frac{x}{a}\right) }{\sqrt{1 - {\left( \frac{x}{a}\right) }^{2}}} = \arcsin \frac{x}{a} + C$ .
$$ \int \frac{\mathrm{d}x}{{a}^{2} + {x}^{2}} = \frac{1}{a}\int \frac{\mathrm{d}\left( \frac{x}{a}\right) }{1 + {\left( \frac{x}{a}\right) }^{2}} = \frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} + C. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：求 ∫ dx/√(a^2 - x^2)
令 u = x/a，则 dx = a du，代入得 ∫ dx/√(a^2 - x^2) = ∫ (a du)/√(a^2 - a^2 u^2) = ∫ du/√(1 - u^2) = arcsin u + C = arcsin(x/a) + C。
公式：∫ du/√(1 - u^2) = arcsin u + C
提示：注意 a>0，通过变量代换将分母化为 √(1-u^2) 形式。
步骤 2/2
目标：求 ∫ dx/(a^2 + x^2)
令 u = x/a，则 dx = a du，代入得 ∫ dx/(a^2 + x^2) = ∫ (a du)/(a^2 + a^2 u^2) = (1/a) ∫ du/(1 + u^2) = (1/a) arctan u + C = (1/a) arctan(x/a) + C。
公式：∫ du/(1 + u^2) = arctan u + C
提示：注意提取因子 1/a，利用基本积分公式。
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