新讲 第5章 原函数与不定积分 第4题
📝 题目
例 4 求 $\displaystyle{\int {x}^{2}\cos x\mathrm{\;d}x}$ .
💡 答案解析
解 $\displaystyle{\int {x}^{2}\cos x\mathrm{\;d}x = \int {x}^{2}\mathrm{\;d}\sin x}$
$$ = {x}^{2}\sin x - \int \sin x\mathrm{\;d}\left( {x}^{2}\right) $$
$$ = {x}^{2}\sin x - 2\int x\sin x\mathrm{\;d}x $$
$$ = {x}^{2}\sin x + 2\int x\mathrm{\;d}\cos x $$
$$ = {x}^{2}\sin x + {2x}\cos x - 2\int \cos x\mathrm{\;d}x $$
$$ = {x}^{2}\sin x + {2x}\cos x - 2\sin x + C. $$
在上面的例子中, 我们接连两次运用分部积分的手续. 一般说来, 多次运用分部积分手续, 我们可以求出以下形式的一些不定积分:
$$ \int {x}^{k}\sin {bx}\mathrm{\;d}x,\;\int {x}^{k}\cos {bx}\mathrm{\;d}x, $$
$$ \int {x}^{k}{\mathrm{e}}^{ax}\mathrm{\;d}x,\;\int {x}^{k}{\ln }^{m}x\mathrm{\;d}x, $$
这里 $k,m \in \mathbb{N}$ .
我们再来看另外一些类型的例子.
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将积分转化为分部积分形式
将 cos x dx 写成 d(sin x)，即 ∫ x^2 cos x dx = ∫ x^2 d(sin x)。
公式：d(sin x) = cos x dx
提示：选择 u = x^2, dv = cos x dx，则 du = 2x dx, v = sin x。
步骤 2/6
目标：应用分部积分公式
使用分部积分公式 ∫ u dv = uv - ∫ v du，得到 x^2 sin x - ∫ sin x d(x^2)。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：注意 d(x^2) = 2x dx。
步骤 3/6
目标：化简积分
计算 d(x^2) = 2x dx，所以 ∫ sin x d(x^2) = 2∫ x sin x dx，得到 x^2 sin x - 2∫ x sin x dx。
公式：d(x^2) = 2x dx
提示：此时积分次数降低一次。
步骤 4/6
目标：再次转化为分部积分形式
将 sin x dx 写成 -d(cos x)，即 -2∫ x sin x dx = 2∫ x d(cos x)。
公式：d(cos x) = -sin x dx
提示：注意负号的处理。
步骤 5/6
目标：再次应用分部积分公式
对 ∫ x d(cos x) 应用分部积分：x cos x - ∫ cos x dx，乘以2后得到 2x cos x - 2∫ cos x dx。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：此时 u = x, dv = d(cos x)。
步骤 6/6
目标：计算剩余积分并合并结果
∫ cos x dx = sin x，所以最终结果为 x^2 sin x + 2x cos x - 2 sin x + C。
公式：∫ cos x dx = sin x + C
提示：不要忘记积分常数 C。
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