方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.5题
📝 题目
5.5.2 设 $f\left( x\right)$ 连续, $F\left( x\right) = {\int }_{0}^{x}f\left( t\right) {\left( x - t\right) }^{n - 1}\mathrm{\;d}t$ ,求 ${F}^{\left( n\right) }\left( x\right)$ .
💡 答案解析
5.5.2 $\left( {n - 1}\right) !f\left( x\right)$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将F(x)表示为卷积形式
注意到F(x) = ∫₀ˣ f(t)(x-t)^{n-1} dt，这是f与函数g(t)=t^{n-1}的卷积，其中g定义在[0,∞)上。因此F(x) = (f * g)(x)。
公式：F(x) = ∫₀ˣ f(t)(x-t)^{n-1} dt
提示：卷积形式有助于利用卷积的微分性质。
步骤 2/4
目标：利用卷积的微分性质
对于卷积，有 (f * g)' = f * g'，其中g'是g的导数。这里g(t)=t^{n-1}，其k阶导数为g^{(k)}(t) = (n-1)(n-2)...(n-k) t^{n-1-k}，当k
公式：(f * g)^{(k)} = f * g^{(k)}
提示：注意卷积微分性质成立的条件，这里f连续，g光滑。
步骤 3/4
目标：求F的n阶导数
对F求n阶导数：F^{(n)}(x) = (f * g)^{(n)}(x) = f * g^{(n)}(x)。由于g^{(n)}(t)=0，但注意当k=n时，g^{(n)}是广义函数？实际上，g的n阶导数在通常意义下为0，但卷积中需考虑边界项。更严谨地，利用莱布尼兹公式或直接对含参积分求导。另一种方法：将F(x)写成∫₀ˣ f(t)(x-t)^{n-1} dt，对x求导n次。
公式：F^{(n)}(x) = (n-1)! f(x)
提示：直接对积分求导时，注意积分上限含x，且被积函数也含x，需用莱布尼兹法则。
步骤 4/4
目标：用莱布尼兹法则求导
设F(x)=∫₀ˣ f(t)(x-t)^{n-1} dt。对x求导：F'(x)=∫₀ˣ f(t)(n-1)(x-t)^{n-2} dt + f(x)(x-x)^{n-1} = (n-1)∫₀ˣ f(t)(x-t)^{n-2} dt。继续求导，每次导数降低幂次，直到第n-1次导数：F^{(n-1)}(x) = (n-1)! ∫₀ˣ f(t) dt。再求一次导得F^{(n)}(x) = (n-1)! f(x)。
公式：F^{(n)}(x) = (n-1)! f(x)
提示：注意每次求导时，积分上限代入项为0，因为(x-x)^{n-k}=0（当k
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