方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.5题
📝 题目
5.5.5 设 $f\left( x\right) \in R\left\lbrack {-\pi ,\pi }\right\rbrack$ ,求函数
$$ F\left( {{\alpha }_{0},{\alpha }_{1},\cdots ,{\alpha }_{n},{\beta }_{1},\cdots ,{\beta }_{n}}\right) $$
$$ = \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\left\lbrack f\left( x\right) - \frac{{\alpha }_{0}}{2} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\left( {\alpha }_{k}\cos kx + {\beta }_{k}\sin kx\right) \right\rbrack }^{2}\mathrm{\;d}x $$
的最小值.
💡 答案解析
5.5.5 $\left\{ \begin{array}{ll} {\alpha }_{k} = \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \cos {kx}\mathrm{\;d}x & \left( {k = 0,1,\cdots ,n}\right) , \\ {\beta }_{k} = \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \sin {kx}\mathrm{\;d}x & \left( {k = 1,2,\cdots ,n}\right) . \end{array}\right.$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确问题：求F的最小值，F是平方误差积分，参数为傅里叶系数。
F是f(x)与三角多项式之差的平方在[-π,π]上的积分除以π，目标是找到使F最小的系数α_k和β_k。
公式：F = (1/π) ∫_{-π}^{π} [f(x) - α_0/2 - Σ_{k=1}^n (α_k cos kx + β_k sin kx)]^2 dx
提示：这是一个最小二乘问题，由于三角函数的正交性，最优系数是傅里叶系数。
步骤 2/5
目标：利用正交性简化F的表达式。
将平方展开，利用三角函数系的正交性：∫_{-π}^{π} cos kx cos lx dx = π δ_{kl} (k,l>0)，∫_{-π}^{π} sin kx sin lx dx = π δ_{kl}，∫_{-π}^{π} cos kx sin lx dx = 0，以及∫_{-π}^{π} cos 0x dx = 2π等。
公式：正交性公式
提示：注意α_0/2的系数，其平方项积分后为(α_0^2/4)*2π = (π/2)α_0^2。
步骤 3/5
目标：计算F的展开式。
设S(x) = α_0/2 + Σ_{k=1}^n (α_k cos kx + β_k sin kx)，则F = (1/π) ∫ f^2 dx - (2/π) ∫ f S dx + (1/π) ∫ S^2 dx。利用正交性，∫ S^2 dx = π(α_0^2/2 + Σ_{k=1}^n (α_k^2+β_k^2))，∫ f S dx = α_0/2 ∫ f dx + Σ_{k=1}^n (α_k ∫ f cos kx dx + β_k ∫ f sin kx dx)。
公式：F = (1/π)∫ f^2 dx - (2/π)[α_0/2 ∫ f dx + Σ(α_k ∫ f cos kx dx + β_k ∫ f sin kx dx)] + (α_0^2/2 + Σ(α_k^2+β_k^2))
提示：注意常数项的处理。
步骤 4/5
目标：对每个参数求偏导并令其为零。
将F视为α_0, α_k, β_k的函数，分别求偏导。例如，∂F/∂α_0 = - (2/π)*(1/2)∫ f dx + α_0 = - (1/π)∫ f dx + α_0 = 0，得α_0 = (1/π)∫ f dx。类似地，∂F/∂α_k = - (2/π)∫ f cos kx dx + 2α_k = 0，得α_k = (1/π)∫ f cos kx dx；∂F/∂β_k = - (2/π)∫ f sin kx dx + 2β_k = 0，得β_k = (1/π)∫ f sin kx dx。
公式：∂F/∂α_0 = 0 ⇒ α_0 = (1/π)∫_{-π}^{π} f(x) dx; ∂F/∂α_k = 0 ⇒ α_k = (1/π)∫_{-π}^{π} f(x) cos kx dx; ∂F/∂β_k = 0 ⇒ β_k = (1/π)∫_{-π}^{π} f(x) sin kx dx
提示：注意α_0的偏导中，α_0项来自α_0^2/2的导数，为α_0。
步骤 5/5
目标：验证这些系数使F取得最小值。
由于F是二次型，且二次项系数为正（α_0^2/2等），故驻点即为最小值点。因此，最小值为当系数取傅里叶系数时。
提示：也可通过配方法或正交投影解释。
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