方企勤 第六章 多元函数积分学 第6.1题
📝 题目
6. 1.10 设 $\Omega \subset {\mathbf{R}}^{m}$ 为可测图形, $Q$ 为长方体, $\Omega \subset {Q}^{ \circ },f\left( x\right) \in R\left( \Omega \right)$ . 定义
$$ F\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} f\left( x\right) , & x \in \Omega , \\ 0, & x \in Q \smallsetminus \Omega . \end{array}\right. $$
求证: $F\left( x\right) \in R\left( Q\right)$ .
💡 答案解析
**题目重述** 设 $\Omega \subset \mathbf{R}^m$ 为可测图形，$Q$ 为长方体，且 $\Omega \subset Q^\circ$（$Q^\circ$ 表示 $Q$ 的内部）。已知 $f(x) \in R(\Omega)$，即 $f$ 在 $\Omega$ 上 Riemann 可积。定义 $$ F(x) = \begin{cases} f(x), & x \in \Omega, \\ 0, & x \in Q \setminus \Omega. \end{cases} $$ 求证：$F(x) \in R(Q)$，即 $F$ 在 $Q$ 上 Riemann 可积。
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### 第一步：明确已知条件与目标
- $\Omega$ 是**可测图形**，意味着 $\Omega$ 是 Lebesgue 可测集，且边界 $\partial \Omega$ 的 Lebesgue 测度为 $0$。 - $Q$ 是一个长方体（闭长方体），且 $\Omega \subset Q^\circ$，所以 $\Omega$ 完全包含在 $Q$ 的内部，不接触 $Q$ 的边界。 - $f$ 在 $\Omega$ 上 Riemann 可积，意味着 $f$ 在 $\Omega$ 上有界，且其不连续点集在 $\Omega$ 内的 Lebesgue 测度为 $0$。
目标：证明 $F$ 在 $Q$ 上 Riemann 可积。
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### 第二步：Riemann 可积的 Lebesgue 判别法
回忆 Lebesgue 判别法：一个有界函数在闭长方体上 Riemann 可积当且仅当其不连续点集的 Lebesgue 测度为 $0$。
因此，我们只需证明 $F$ 在 $Q$ 上的不连续点集测度为 $0$。
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### 第三步：分析 $F$ 的不连续点
$F$ 在 $\Omega$ 内部与 $f$ 相同，在 $Q \setminus \Omega$ 上恒为 $0$。 可能产生不连续的点有两类：
1. **$f$ 在 $\Omega$ 内部原有的不连续点**。 由于 $f \in R(\Omega)$，它在 $\Omega$ 内的不连续点集 $D_f$ 测度为 $0$。这些点也是 $F$ 的不连续点。
2. **$\Omega$ 的边界点**。 在 $\partial \Omega$ 上，$F$ 可能发生跳跃：从 $\Omega$ 内部趋近边界时，$F$ 取值 $f$ 的极限值（可能非零），而从外部趋近时，$F$ 取 $0$。 但已知 $\Omega$ 是可测图形，所以 $\partial \Omega$ 的 Lebesgue 测度为 $0$。
因此，$F$ 的不连续点集包含于 $$ D_f \cup \partial \Omega, $$ 而这两个集合的测度均为 $0$，所以它们的并集测度也为 $0$。
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### 第四步：注意 $Q$ 的边界
由于 $\Omega \subset Q^\circ$，$\partial Q$ 与 $\Omega$ 不相交，且在 $\partial Q$ 附近 $F$ 恒为 $0$，所以 $\partial Q$ 不会引入新的不连续点（实际上 $F$ 在 $\partial Q$ 上连续，因为其邻域内函数值均为 $0$）。因此无需担心 $Q$ 的边界。
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### 第五步：结论
由 Lebesgue 判别法，$F$ 在 $Q$ 上的不连续点集测度为 $0$，且 $F$ 在 $Q$ 上有界（因为 $f$ 在 $\Omega$ 上有界，且 $F$ 在外部为 $0$），因此 $F$ 在 $Q$ 上 Riemann 可积。
$$ \boxed{F(x) \in R(Q)} $$
这样就完成了证明。