方企勤 第六章 多元函数积分学 第6.4题
📝 题目
6. 4.1 求环面 $x = \left( {b + a\cos \varphi }\right) \cos \theta ,y = \left( {b + a\cos \varphi }\right) \sin \theta ,z = a\sin \varphi (0 < a <$ $b)$ 被两条经线 $\theta = {\theta }_{1},\theta = {\theta }_{2}$ 和两条纬线 $\varphi = {\varphi }_{1},\varphi = {\varphi }_{2}$ 所围成的那部分面积,并求出整个环面面积.
💡 答案解析
6. 4.1 ${a}\left( {{\theta }_{2} - {\theta }_{1}}\right) \left\lbrack {b\left( {{\varphi }_{2} - {\varphi }_{1}}\right) + a\left( {\sin {\varphi }_{2} - \sin {\varphi }_{1}}\right) }\right\rbrack$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算曲面面积元素
环面参数方程为：
x = (b + a cos φ) cos θ,
y = (b + a cos φ) sin θ,
z = a sin φ.
计算偏导数：
r_θ = (-(b + a cos φ) sin θ, (b + a cos φ) cos θ, 0),
r_φ = (-a sin φ cos θ, -a sin φ sin θ, a cos φ).
计算法向量模：
|r_θ × r_φ| = |(b + a cos φ) (a cos φ cos θ, a cos φ sin θ, a sin φ))| = a(b + a cos φ).
公式：|r_θ × r_φ| = a(b + a cos φ)
提示：注意叉积计算时利用正交性简化。
步骤 2/5
目标：建立面积积分
面积元素 dS = a(b + a cos φ) dθ dφ.
积分区域：θ从θ1到θ2，φ从φ1到φ2。
面积 S = ∫_{θ1}^{θ2} ∫_{φ1}^{φ2} a(b + a cos φ) dφ dθ.
公式：S = ∫_{θ1}^{θ2} ∫_{φ1}^{φ2} a(b + a cos φ) dφ dθ
提示：注意积分顺序不影响结果。
步骤 3/5
目标：计算内层积分（对φ）
先对φ积分：
∫_{φ1}^{φ2} a(b + a cos φ) dφ = a[b(φ2 - φ1) + a(sin φ2 - sin φ1)].
公式：∫ a(b + a cos φ) dφ = a[b φ + a sin φ]
提示：cos φ的原函数是sin φ。
步骤 4/5
目标：计算外层积分（对θ）
再对θ积分：
∫_{θ1}^{θ2} a[b(φ2 - φ1) + a(sin φ2 - sin φ1)] dθ = a(θ2 - θ1)[b(φ2 - φ1) + a(sin φ2 - sin φ1)].
公式：S = a(θ2 - θ1)[b(φ2 - φ1) + a(sin φ2 - sin φ1)]
提示：被积函数与θ无关，直接乘以θ的区间长度。
步骤 5/5
目标：求整个环面面积
整个环面对应θ从0到2π，φ从0到2π。
代入得：S_total = a(2π - 0)[b(2π - 0) + a(sin 2π - sin 0)] = 4π^2 a b.
公式：S_total = 4π^2 a b
提示：sin 2π = sin 0 = 0。
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