方企勤 第六章 多元函数积分学 第6.4题
📝 题目
6.4.2 求螺旋面 $x = r\cos \varphi ,y = r\sin \varphi ,z = {h\varphi }\left( {0 < r < a,0 < \varphi < {2\pi }}\right)$ 的面积.
💡 答案解析
6.4.2 $\pi \left\lbrack {a\sqrt{{a}^{2} + {h}^{2}} + {h}^{2}\ln \frac{a + \sqrt{{a}^{2} + {h}^{2}}}{h}}\right\rbrack$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出曲面面积的参数公式
曲面面积公式为 S = ∬_D |r_u × r_v| du dv，其中 r(u,v) 是参数表示。这里参数为 r 和 φ，即 u=r, v=φ。
公式：S = ∬_D |r_r × r_φ| dr dφ
提示：注意参数范围：0
步骤 2/5
目标：计算偏导数和叉积模
r_r = (cosφ, sinφ, 0)，r_φ = (-r sinφ, r cosφ, h)。叉积 r_r × r_φ = (h sinφ, -h cosφ, r)，模为 √(h^2 + r^2)。
公式：|r_r × r_φ| = √(h^2 + r^2)
提示：叉积计算时注意符号，模长与φ无关。
步骤 3/5
目标：建立二重积分并计算
S = ∫_{0}^{2π} dφ ∫_{0}^{a} √(h^2 + r^2) dr = 2π ∫_{0}^{a} √(h^2 + r^2) dr。
公式：S = 2π ∫_0^a √(h^2 + r^2) dr
提示：积分区域是矩形，先对r积分。
步骤 4/5
目标：计算定积分
∫ √(h^2 + r^2) dr = (r/2)√(h^2 + r^2) + (h^2/2) ln|r + √(h^2 + r^2)| + C。代入上下限得：从0到a，得到 (a/2)√(a^2+h^2) + (h^2/2) ln(a+√(a^2+h^2)) - (h^2/2) ln h。
公式：∫ √(h^2 + r^2) dr = (r/2)√(h^2+r^2) + (h^2/2) ln(r+√(h^2+r^2)) + C
提示：注意 ln 中 h 为正，结果化简。
步骤 5/5
目标：乘以2π得到最终面积
S = 2π * [ (a/2)√(a^2+h^2) + (h^2/2) ln((a+√(a^2+h^2))/h) ] = π [ a√(a^2+h^2) + h^2 ln((a+√(a^2+h^2))/h) ]。
公式：S = π [ a√(a^2+h^2) + h^2 ln((a+√(a^2+h^2))/h) ]
提示：与答案一致。
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