方企勤 第一章 分析基础 第4题
📝 题目
例 4 设 $f\left( x\right)$ 既关于直线 $x = a$ 对称,又关于直线 $x = b$ 对称, 已知 $b > a$ ,求证: $f\left( x\right)$ 是周期函数并求其周期.
💡 答案解析
证 由已知
$$ f\left( {a - x}\right) = f\left( {a + x}\right) \overset{t = a + x}{ \Rightarrow }f\left( {{2a} - t}\right) = f\left( t\right) , \tag{2.1} $$
$$ f\left( {b - x}\right) = f\left( {b + x}\right) \overset{t = b + x}{ \Rightarrow }f\left( {{2b} - t}\right) = f\left( t\right) , \tag{2.2} $$
$$ f\left( x\right) \frac{\left( {2.1}\right) }{t = x}f\left( {{2a} - x}\right) $$
$$ \xrightarrow[{t = {2a} - x}]{\left( {2.2}\right) }f\left( {{2b} - \left( {{2a} - x}\right) }\right) = f\left( {x + 2\left( {b - a}\right) }\right) . $$
故 $f\left( x\right)$ 是周期函数,并且其周期是 $2\left( {b - a}\right)$ .
评注 本例给出利用函数图像特性判定函数为周期函数, 并同时求得周期的方法.
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用对称性得到函数方程
由关于直线x=a对称得f(a-x)=f(a+x)，令t=a+x，则x=t-a，代入得f(2a-t)=f(t)。
公式：f(2a-t)=f(t)
提示：注意变量替换，将对称性转化为函数方程。
步骤 2/4
目标：利用对称性得到另一个函数方程
由关于直线x=b对称得f(b-x)=f(b+x)，令t=b+x，则x=t-b，代入得f(2b-t)=f(t)。
公式：f(2b-t)=f(t)
提示：同理，得到第二个方程。
步骤 3/4
目标：结合两个方程推导周期性
由第一个方程，令t=x得f(x)=f(2a-x)。再对f(2a-x)应用第二个方程，令t=2a-x，得f(2b-(2a-x))=f(x+2(b-a))。
公式：f(x)=f(x+2(b-a))
提示：通过两次代入，得到f(x)与f(x+2(b-a))相等。
步骤 4/4
目标：得出结论
由f(x)=f(x+2(b-a))知f(x)是周期函数，周期T=2(b-a)。
公式：T=2(b-a)
提示：周期为两对称轴距离的两倍。
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