方企勤 第一章 分析基础 第6题
📝 题目
例 6 设 $\alpha < 1$ ,求证: $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left\lbrack {{\left( n + 1\right) }^{\alpha } - {n}^{\alpha }}\right\rbrack = 0$ .
💡 答案解析
证 当 $\alpha \leq 0$ 时,结论显然成立. 下设 $0 < \alpha < 1$ . 因为
$$ 0 < {\left( n + 1\right) }^{a} - {n}^{a} = {n}^{a}\left\lbrack {{\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{a} - 1}\right\rbrack $$
$$ < {n}^{\alpha }\left\lbrack {{\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{1} - 1}\right\rbrack = \frac{1}{{n}^{1 - \alpha }}, $$
又 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{n}^{1 - a} = 0}$ ,故有 $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left\lbrack {{\left( n + 1\right) }^{a} - {n}^{a}}\right\rbrack = 0$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分情况讨论α≤0和0<α<1
当α≤0时，由于(n+1)^α和n^α都趋于0，差趋于0，结论显然成立。当0<α<1时，需要利用不等式放缩。
提示：注意α≤0时极限直接为0，无需复杂证明。
步骤 2/4
目标：将差变形为n^α[(1+1/n)^α-1]
提取公因式n^α： (n+1)^α - n^α = n^α[(1+1/n)^α - 1]。
公式：(n+1)^α - n^α = n^α[(1+1/n)^α - 1]
提示：利用指数运算性质。
步骤 3/4
目标：利用不等式(1+x)^α < 1+αx (0<α<1, x>0)进行放缩
由于0<α<1，对于x=1/n>0，有(1+1/n)^α < 1+α*(1/n) < 1+1/n（因为α<1），所以(1+1/n)^α - 1 < 1/n。代入得：n^α[(1+1/n)^α-1] < n^α * (1/n) = 1/n^(1-α)。
公式：(1+1/n)^α - 1 < 1/n
提示：常用不等式：当0<α<1时，(1+x)^α ≤ 1+αx，但这里用更宽松的1+x也可以。
步骤 4/4
目标：取极限并利用夹逼定理
由于0 < (n+1)^α - n^α < 1/n^(1-α)，且lim_{n→∞} 1/n^(1-α)=0（因为1-α>0），由夹逼定理得极限为0。
公式：lim_{n→∞} 1/n^(1-α) = 0
提示：夹逼定理：若0≤a_n≤b_n且b_n→0，则a_n→0。
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