方企勤 第一章 分析基础 第8题
📝 题目
例 8 设 ${x}_{n} = \frac{1! + 2! + \cdots + n!}{n!}$ ,求 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}$ .
💡 答案解析
解 注意到分子当 $n > 2$ 时,
$$ n! < \underset{n - 2}{\underbrace{1! + 2! + 3! + \cdots + \left( {n - 2}\right) !}} + \left( {n - 1}\right) ! + n! $$
$$ < \left( {n - 2}\right) \left( {n - 2}\right) ! + \left( {n - 1}\right) ! + n! < 2\left( {n - 1}\right) ! + n!. $$
因此,当 $n > 2$ 时, $\displaystyle{1 < {x}_{n} < 1 + \frac{2}{n} \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = 1}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析分子结构，将前n-2项放缩为(n-2)(n-2)!
注意到当n>2时，1!+2!+...+(n-2)! < (n-2)(n-2)!，因为每一项最大为(n-2)!，共有n-2项。
公式：1!+2!+...+(n-2)! < (n-2)(n-2)!
提示：利用每一项都小于等于(n-2)!进行放缩。
步骤 2/4
目标：将分子整体放缩为2(n-1)!+n!
由第一步，1!+2!+...+n! < (n-2)(n-2)! + (n-1)! + n!。又因为(n-2)(n-2)! < (n-1)!（当n>2时），所以分子 < 2(n-1)! + n!。
公式：1!+2!+...+n! < 2(n-1)! + n!
提示：注意(n-2)(n-2)! = (n-1)!/(n-1) < (n-1)!。
步骤 3/4
目标：得到xn的上下界
由于分子包含n!，显然xn > 1。由第二步，xn < (2(n-1)!+n!)/n! = 1 + 2/n。因此1 < xn < 1 + 2/n。
公式：1 < x_n < 1 + \frac{2}{n}
提示：下界由分子中n!项得到。
步骤 4/4
目标：利用夹逼定理求极限
当n→∞时，1→1，1+2/n→1，由夹逼定理得lim xn = 1。
公式：\lim_{n\to\infty} x_n = 1
提示：夹逼定理：若a_n ≤ b_n ≤ c_n且lim a_n = lim c_n = L，则lim b_n = L。
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