方企勤 第一章 分析基础 第9题
📝 题目
例 9 设 ${x}_{n} \leq a \leq {y}_{n}\left( {n = 1,2,\cdots }\right)$ ,且 $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left( {{x}_{n} - {y}_{n}}\right) = 0$ . 求证:
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{y}_{n} = a. $$
💡 答案解析
证 ${x}_{n} \leq a \leq {y}_{n} \Rightarrow 0 \leq a - {x}_{n} \leq {y}_{n} - {x}_{n}\underset{0 \leq a - {x}_{n} \leq {y}_{n} - {x}_{n}}{\underbrace{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left( {{y}_{n} - {x}_{n}}\right) = 0}}\underset{n \rightarrow \infty }{\underbrace{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{y}_{n} = a}}$ .
\subsubsection{三、用单调有界定理}
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：由已知条件推导不等式
已知 x_n ≤ a ≤ y_n，因此有 0 ≤ a - x_n ≤ y_n - x_n。
公式：0 ≤ a - x_n ≤ y_n - x_n
提示：注意不等式方向，确保正确推导。
步骤 2/3
目标：应用夹逼定理证明 x_n 的极限
由于 lim (y_n - x_n) = 0，且 0 ≤ a - x_n ≤ y_n - x_n，由夹逼定理得 lim (a - x_n) = 0，即 lim x_n = a。
公式：lim (a - x_n) = 0 ⇒ lim x_n = a
提示：夹逼定理要求两边极限相等。
步骤 3/3
目标：证明 y_n 的极限
由 x_n ≤ a ≤ y_n 得 0 ≤ y_n - a ≤ y_n - x_n，同样由夹逼定理得 lim (y_n - a) = 0，即 lim y_n = a。
公式：0 ≤ y_n - a ≤ y_n - x_n ⇒ lim y_n = a
提示：对称性，类似第一步。
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