方企勤 第一章 分析基础 第10题
📝 题目
例 10 求 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{2}^{n}n!}{{n}^{n}}}$ .
💡 答案解析
解 令 ${x}_{n} = \frac{{2}^{n}n!}{{n}^{n}}$ ,则有 $\frac{{x}_{n + 1}}{{x}_{n}} = \frac{2}{{\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{n}} \leq 1 \Rightarrow {x}_{n} \downarrow$ . 又
$$ {x}_{n} > 0 \Rightarrow \exists \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} $$
设 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = a}$ ,再注意到 ${x}_{n + 1} = \frac{2{x}_{n}}{{\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{n}}$ ,两端取极限得到
$$ a = \frac{2}{\mathrm{e}}a \Rightarrow a = 0,\;\text{ 即 }\;\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{2}^{n}n!}{{n}^{n}} = 0. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：定义数列并分析单调性
令 x_n = 2^n n! / n^n，计算相邻项比值：x_{n+1}/x_n = 2 / (1+1/n)^n。由于 (1+1/n)^n < e < 2? 实际上 (1+1/n)^n 单调递增趋于 e，且 e ≈ 2.718 > 2，但这里需要判断比值是否 ≤1。注意 (1+1/n)^n 从 2 开始递增，当 n=1 时 (1+1)^1=2，比值为 1；n≥2 时 (1+1/n)^n > 2，比值 <1。因此 x_n 单调递减。
公式：x_{n+1}/x_n = 2/(1+1/n)^n
提示：利用单调有界定理，先证明数列单调递减且有下界0，从而极限存在。
步骤 2/3
目标：证明极限存在
由 x_n > 0 且 x_n 单调递减，根据单调有界定理，极限存在。设极限为 a。
提示：单调递减有下界则极限存在。
步骤 3/3
目标：建立递推关系并取极限
由 x_{n+1} = (2 x_n) / (1+1/n)^n，两边取极限得 a = (2/e) a，因为 (1+1/n)^n → e。解得 a = 0。
公式：x_{n+1} = 2x_n/(1+1/n)^n, 极限 a = (2/e)a
提示：注意 (1+1/n)^n 的极限是 e。
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