方企勤 第一章 分析基础 第11题
📝 题目
例 11 求极限 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{n}}$ .
💡 答案解析
解 因为 $\sqrt[{n + 1}]{n + 1} \leq \sqrt[n]{n} \Leftrightarrow {\left( n + 1\right) }^{n} \leq {n}^{n + 1} \Leftrightarrow {\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{n} \leq n$ ,而后者当 $n \geq 3$ 时成立,所以当 $n \geq 3$ 时,序列 $\left\{ \sqrt[n]{n}\right\}$ 是单调下降的. 又 $\sqrt[n]{n} \geq 1$ ,即序列 $\left\{ \sqrt[n]{n}\right\}$ 有下界,从而极限 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{n} \geq 1}$ 存在,记 $a =$ $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{n}}$ ,则
$$ {x}_{2n} = \sqrt[{2n}]{2n} = \sqrt[n]{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\sqrt[n]{n}} = \sqrt[n]{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{{x}_{n}} $$
$$ \underset{\text{ 两边取极限 }}{ \rightarrow }a = 1 \cdot \sqrt{a} \Rightarrow a = 0\text{ 或 }1. $$
但是 $a \geq 1 \Rightarrow a = 1$ ,于是 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{n} = 1}$ .