方企勤 第一章 分析基础 第15题
📝 题目
例 15 设 $c > 0$ ,任取 $0 < {x}_{0} < \frac{1}{c}$ ,作迭代序列
$$ {x}_{n + 1} = {x}_{n}\left( {2 - c{x}_{n}}\right) \;\left( {n = 0,1,2,\cdots }\right) . $$
求 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}$ .
💡 答案解析
解 首先,注意到 $c{x}_{n + 1} = c{x}_{n}\left( {2 - c{x}_{n}}\right) = 1 - {\left( 1 - c{x}_{n}\right) }^{2}$ ,由数学归纳法, 我们有
$$ 0 < c{x}_{0} < 1 \Rightarrow 0 < c{x}_{n} < 1\left( {\forall n \in N}\right) $$
$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < {x}_{n} < \frac{1}{c}, \\ \frac{{x}_{n + 1}}{{x}_{n}} = 2 - c{x}_{n} > 1 \Rightarrow {x}_{n + 1} > {x}_{n}. \end{array}\right. $$
这说明序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 单调上升、有上界,因此序列极限存在. 记极限值为 $a$ . 为了求出 $a$ ,我们对等式 ${x}_{n + 1} = {x}_{n}\left( {2 - c{x}_{n}}\right)$ 取极限,得
$$ a = a\left( {2 - {ca}}\right) \Rightarrow a = \frac{1}{c}, $$
即得 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = \frac{1}{c}}$ .
评注 本题只用 “+, $\times$ ”运算,借助迭代法完成了求一个数的倒数的运算. 这就是计算机可以只用 “+, $\times$ ” 运算来实现除法运算的基本原理.