方企勤第一章分析基础第21题

教材习题

📝 题目

例 21 设序列 ${x}_{n}$ 无上界. 求证: 存在子序列 $\left\{ {x}_{{n}_{k}}\right\}$ ,使得

$$ \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{x}_{{n}_{k}} = + \infty $$

证对于 ${m}_{1} = 1,\exists {n}_{1}$ ,使得 ${x}_{{n}_{1}} > {m}_{1}$ ,

对于 $\displaystyle{m}_{2} = \max \left\{ {{x}_{1},\cdots ,{x}_{{n}_{1}},2}\right\} ,\exists {n}_{2} > {n}_{1}}$ ,使得 ${x}_{{n}_{2}} > {m}_{2}$ ,

对于 $\displaystyle{m}_{3} = \max \left\{ {{x}_{1},\cdots ,{x}_{{n}_{2}},3}\right\} ,\exists {n}_{3} > {n}_{2}}$ ,使得 ${x}_{{n}_{3}} > {m}_{3}$ ,

$\vdots$

对于 $\displaystyle{m}_{k} = \max \left\{ {{x}_{1},\cdots ,{x}_{{n}_{k}},k}\right\} ,\exists {n}_{k} > {n}_{k - 1}}$ ,使得 ${x}_{{n}_{k}} > {m}_{k}$ ,

$\vdots$

这样产生一子序列 $\left\{ {x}_{{n}_{k}}\right\}$ ,因为 ${x}_{{n}_{k}} > {m}_{k} \geq k$ ,由广义极限不等式推出

$$ \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{x}_{{n}_{k}} = + \infty \text{ . } $$

步骤 1/3

目标：构造子序列的初始项

取 m1=1，由于序列 {xn} 无上界，存在 n1 使得 xn1 > m1。

提示：利用无上界定义，对任意正数 M，存在项大于 M。

步骤 2/3

目标：归纳构造后续项

假设已选到 n_{k-1}，令 m_k = max{x1, ..., x_{n_{k-1}}, k}。由于序列无上界，存在 n_k > n_{k-1} 使得 x_{n_k} > m_k。

公式：m_k = \max\{x_1, \dots, x_{n_{k-1}}, k\}

提示：确保 m_k 至少为 k，且大于之前所有项，从而保证子序列严格递增趋于无穷。

步骤 3/3

目标：证明子序列趋于正无穷

由构造知 x_{n_k} > m_k ≥ k，因此对任意 M>0，取 K = ⌈M⌉，当 k>K 时，x_{n_k} > k ≥ M，故极限为 +∞。

公式：x_{n_k} > m_k \geq k

提示：利用广义极限不等式：若存在 N 使得当 n>N 时 x_n > a_n 且 a_n→+∞，则 x_n→+∞。

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