方企勤 第一章 分析基础 第5题
📝 题目
例 5 设 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = a}$ ,求证: $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\left( 1 + \frac{{x}_{n}}{n}\right) }^{n} = {\mathrm{e}}^{a}$ .
💡 答案解析
证 令 ${y}_{n}\frac{\text{ 定义 }n}{{x}_{n}}$ ,显然有 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{y}_{n} = \infty}$ . 于是
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\left( 1 + \frac{{x}_{n}}{n}\right) }^{n} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\left\lbrack {\left( 1 + \frac{1}{{y}_{n}}\right) }^{{y}_{n}}\right\rbrack }^{{x}_{n}} = {\mathrm{e}}^{a}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：引入变量替换，将原极限转化为已知极限形式
令 y_n = n / x_n，由于 x_n → a，且 a 为有限数，当 n → ∞ 时，y_n → ∞。
公式：y_n = n / x_n
提示：注意 x_n 可能为零，但极限 a 非零时，可保证 y_n 趋于无穷。若 a=0，需单独处理，但此处假设 a≠0。
步骤 2/3
目标：将原表达式用 y_n 表示
将 (1 + x_n/n)^n 改写为 (1 + 1/y_n)^{n}，再利用 n = x_n y_n，得到 (1 + 1/y_n)^{x_n y_n} = [(1 + 1/y_n)^{y_n}]^{x_n}。
公式：(1 + x_n/n)^n = (1 + 1/y_n)^{x_n y_n} = [(1 + 1/y_n)^{y_n}]^{x_n}
提示：关键步骤：将指数 n 替换为 x_n y_n。
步骤 3/3
目标：利用已知极限和极限运算法则求极限
由于 y_n → ∞，有 (1 + 1/y_n)^{y_n} → e；又 x_n → a，由指数函数的连续性，得 [(1 + 1/y_n)^{y_n}]^{x_n} → e^a。
公式：lim_{n→∞} (1 + 1/y_n)^{y_n} = e，lim_{n→∞} x_n = a
提示：注意这里使用了复合函数的极限法则，要求内层极限存在且外层函数连续。
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