方企勤 第一章 分析基础 第4题

教材习题

📝 题目

例 4 求下列极限:

(1) $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{\ln x}{{x}^{a}}\left( {a > 0}\right)$ ; (2) $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{x}^{\frac{1}{x}}}$ .

💡 答案解析

解 (1) 令 $x = {\mathrm{e}}^{t},b = {\mathrm{e}}^{a}$ ,则有 $b > 1$ ,且

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{\ln x}{{x}^{a}} = \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow + \infty }}\frac{t}{{\mathrm{e}}^{at}} = \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow + \infty }}\frac{t}{{b}^{t}}\overset{\text{ 用例 }3}{ = }0. $$

(2)用第(1)小题结果,当 $a = 1$ 时,有

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{\ln x}{x} = 0 \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{x}^{\frac{1}{x}} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{\mathrm{e}}^{\frac{\ln x}{x}} = {\mathrm{e}}^{0} = 1. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：计算极限 (1) lim_{x→+∞} ln x / x^a (a>0)
令 x = e^t，则当 x→+∞ 时 t→+∞，且 ln x = t，x^a = e^{at}。因此原极限化为 lim_{t→+∞} t / e^{at}。再令 b = e^a，则 b>1，极限变为 lim_{t→+∞} t / b^t。由例3结论，指数函数增长快于幂函数，该极限为0。
公式：\lim_{t\to +\infty} \frac{t}{b^t} = 0 \quad (b>1)
提示：通过变量代换将极限转化为已知形式，利用指数函数增长快于幂函数的性质。
步骤 2/2
目标：计算极限 (2) lim_{x→+∞} x^{1/x}
利用恒等式 x^{1/x} = e^{(ln x)/x}。由第(1)小题结果，当 a=1 时，lim_{x→+∞} (ln x)/x = 0。因此原极限 = e^0 = 1。
公式：\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \quad \Rightarrow \quad \lim_{x\to +\infty} x^{1/x} = e^0 = 1
提示：将幂指函数转化为指数形式，利用已知极限计算。

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