方企勤 第一章 分析基础 第3题
📝 题目
例 3 设 $a > 1,k > 0$ ,求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{{x}^{k}}{{a}^{x}} = 0}$ .
💡 答案解析
证 不妨设 $x > 1$ ,注意到 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{n}^{k}}{{a}^{n}} = 0}$ ,则有
$$ 0 \leq \frac{{x}^{k}}{{a}^{x}} \leq \frac{{\left( \left\lbrack x\right\rbrack + 1\right) }^{k}}{{a}^{\left\lbrack x\right\rbrack }} = a \cdot \frac{{\left( \left\lbrack x\right\rbrack + 1\right) }^{k}}{{a}^{\left\lbrack x\right\rbrack + 1}} \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{{x}^{k}}{{a}^{x}} = 0. $$
\subsubsection{二、用变量代换}
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用数列极限已知结论
已知数列极限 \(\lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{a^n} = 0\)（其中 \(a>1, k>0\)），这是证明的基础。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{a^n} = 0
提示：数列极限的结论可以直接使用，因为数列是函数的子列。
步骤 2/4
目标：建立不等式夹逼
设 \(x > 1\)，取整函数 \([x]\) 满足 \([x] \leq x < [x]+1\)。则 \(x^k \leq ([x]+1)^k\)，且 \(a^x \geq a^{[x]}\)，因此 \(\frac{x^k}{a^x} \leq \frac{([x]+1)^k}{a^{[x]}}\)。同时 \(\frac{x^k}{a^x} \geq 0\)。
公式：0 \leq \frac{x^k}{a^x} \leq \frac{([x]+1)^k}{a^{[x]}}
提示：注意不等式方向：分子放大，分母缩小，整体放大。
步骤 3/4
目标：将不等式与数列极限关联
将右边表达式变形：\(\frac{([x]+1)^k}{a^{[x]}} = a \cdot \frac{([x]+1)^k}{a^{[x]+1}}\)。令 \(n = [x]+1\)，则当 \(x \to +\infty\) 时，\(n \to \infty\)，且 \(\frac{([x]+1)^k}{a^{[x]+1}} = \frac{n^k}{a^n}\)。
公式：\frac{([x]+1)^k}{a^{[x]}} = a \cdot \frac{n^k}{a^n}
提示：变量代换 \(n = [x]+1\) 将函数极限转化为数列极限。
步骤 4/4
目标：应用夹逼定理
由数列极限 \(\lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{a^n} = 0\) 得 \(\lim_{n \to \infty} a \cdot \frac{n^k}{a^n} = a \cdot 0 = 0\)。因此 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{([x]+1)^k}{a^{[x]}} = 0\)。由夹逼定理，\(0 \leq \frac{x^k}{a^x} \leq \frac{([x]+1)^k}{a^{[x]}}\) 且两边极限为0，故 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^k}{a^x} = 0\)。
公式：\lim_{x \to +\infty} \frac{x^k}{a^x} = 0
提示：夹逼定理要求不等式两边极限相等。
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